Aljabar Himpunan
1. Idempoten
A ∪ A = A
A ∩ A = A
2. Asosiatif
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
3. Komutatif
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
4. Distributif
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Perhatikan aljabar logika berikut:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∪ (B ∩ C)
= {x | x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C)}
= {x |(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C)}
= (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Telah terbukti bahwa A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),
adapun untuk A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) pembaca dipersilahkan untuk membuktikan sendiri,
tenang saja ini mudah kok, tidak susah, kan bisa pakai cara yang sama.
5. Identitas
A ∪ ∅ = A
A ∩ S = A
6. Dominasi
A ∪ S = S
A ∩ ∅ = ∅
7. Komplemen
A ∪ A' = S
A ∩ A' = ∅
(A')' = A
S' = ∅
∅' = S
8. De Morgan
(A ∪ B)' = A' ∩ B'
(A ∩ B)' = A' ∪ B'
Perhatikan aljabar logika berikut:
(A ∪ B)' = A' ∩ B’
(A ∪ B)’
= {x | x ∉ (A ∪ B)}
= {x | ~(x ∈ A ∨ x ∈ B)}
= {x | x ∉ A ∧ x ∉ B}
= A' ∩ B’
Telah terbukti untuk (A ∪ B)' = A' ∩ B’, adapun untuk (A ∩ B)' = A' ∪ B pembaca dipersilahkan
untuk membuktikan sendiri, tenang saja ini mudah kok, tidak susah, kan bisa pakai cara yang sama.
Contoh soal dan pembahasan:
Buktikan bahwa (A - B) ∪ (B - A) = (A ∪ B) - (A ∩ B)!
(A - B) ∪ (B - A)
= (A ∩ B’) ∪ (B ∩ A’) (definisi selisih)
= (A ∪ B) ∩ (A ∪ A’) ∩ (B’ ∪ B) ∩ (B’ ∪ A’) (distributif)
= (A ∪ B) ∩ S ∩ S ∩ (B’ ∪ A’) (komplemen)
= (A ∪ B) ∩ (B’ ∪ A’) (identitas)
= (A ∪ B) - (B’ ∪ A’)’ (definisi selisih)
= (A ∪ B) - (B ∩ A) (de morgan)
= (A ∪ B) - (A ∩ B) (komutatif)
Terbukti
Buktikan bahwa A ∩ (B ∆ C) = (A ∩ B) ∆ (A ∩ C)!
(A ∩ B) ∆ (A ∩ C)
= ((A ∩ B) - (A ∩ C)) ∪ ((A ∩ C) - (A ∩ B)) (definisi selisih simetris)
= ((A ∩ B) ∩ (A ∩ C)’) ∪ ((A ∩ C) ∩ (A ∩ B)’) (definisi selisih)
= ((A ∩ B) ∩ (A’ ∪ C’)) ∪ ((A ∩ C) ∩ (A’ ∪ B’)) (de morgan)
= ((A ∩ B ∩ A’) ∪ (A ∩ B ∩ C’)) ∪ ((A ∩ C ∩ A’) ∪ (A ∩ C ∩B’)) (distributif)
= (∅ ∪ (A ∩ B ∩ C’)) ∪ (∅ ∪ (A ∩ C ∩ B’)) (komplemen)
= (A ∩ B ∩ C’) ∪ (A ∩ C ∩ B’) (identitas)
= A ∩ ((B ∩ C’) ∪ (C ∩ B’)) (distributif)
= A ∩ (B ∆ C) (definisi selisih simetris)
Terbukti
Buktikan bahwa A ∪ B = S ↔ A’ ⊆ B!
(i) A ∪ B = S → A’ ⊆ B
Andaikan A’ ⊈ B berarti ~(A’ ⊆ B)
~((∀x).x ∈ A’ → x ∈ B)
≡ (∃x).x ∈ A’ ∧ x ∉ B
≡ (∃x).x ∈ A’ ∧ x ∈ B’
≡ (∃x).x ∈ (A’ ∩ B’)
≡ (∃x).x ∈ (A ∪ B)’
≡ (∃x).x ∈ S’
≡ (∃x).x ∈ ∅
Karena himpunan ∅ tidak mempunyai anggota, maka kalimat “x ∈ ∅” pasti bernilai salah.
Karena pengandaian salah, maka A ∪ B = S → A’ ⊆ B benar
(ii) A’ ⊆ B → A ∪ B = S
A’ ⊆ B
≡ (∀x).x ∉ A → x ∈ B
≡ (∀x).x ∈ A ∨ x ∈ B
≡ A ∪ B = S
Telah terbukti kedua arah A ∪ B = S ↔ A’ ⊆ B
Buktikan A ∪ B = S ∧ A ∩ B = ∅ ↔ A = B′
(i) A ∪ B = S ∧ A ∩ B = ∅ → A = B′
A ∪ B = S ∧ A ∩ B = ∅
≡ (∀x).x ∈ A ∨ x ∈ B ∧ ~((∃x).x ∈ A ∧ x ∈ B)
≡ (∀x).x ∈ A ∨ x ∈ B ∧ (∀x).x ∉ A ∨ x ∉ B
≡ (∀x).(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (∀x).(x ∉ A ∨ x ∉ B)
≡ (∀x).(x ∈ B ∨ x ∈ A) ∧ (∀x).(x ∉ A ∨ x ∉ B)
≡ (∀x).(x ∉ B → x ∈ A) ∧ (∀x).(x ∈ A → x ∉ B)
≡ B′ ⊆ A ∧ A ⊆ B′
≡ A = B′
(ii) A = B′ → A ∪ B = S ∧ A ∩ B = ∅
A = B′
A ∪ B = B′ ∪ B ∧ A ∩ B = B′ ∩ B
A ∪ B = S ∧ A ∩ B = ∅
Telah terbukti kedua arah
Tonton video aljabar himpunan:
Part 1
Komentar
Posting Komentar