Fungsi Antar Himpunan

A. Definisi Fungsi

Misalnya ada dua himpunan A dan B, sebuah fungsi dari A ke B (dinotasikan f:A → B atau a ↦ b) adalah sebuah himpunan f dari pasangan berurutan dalam A × B sehingga masing-masing a ∈ A ada tepat satu b ∈ B dengan (a, b) ∈ f yang dinotasikan "(∀a ∈ A)(∃!b ∈ B) ∋ f(a) = b".

Hubungan antara fungsi, relasi, dan pergandaan himpunan adalah f ⊆ R ⊆ A × B. Fungsi merupakan himpunan bagian dari relasi, dimana fungsi adalah relasi yang setiap anggota A memiliki tepat satu pasangan di B. Suatu relasi disebut fungsi dengan dua syarat, yaitu seluruh anggota A memiliki pasangan di B dan pasangannya tepat satu tidak lebih.

Himpunan A disebut sebagai daerah asal atau domain yang dinyatakan sebagai D(f) dan himpunan B disebut daerah tujuan atau kodomain. Himpunan semua elemen dalam kodomain yang memiliki pasangan di domain disebut daerah hasil atau range dari f yang dinyatakan sebagai R(f). Berdasarkan definisi fungsi diperoleh D(f) = A dan R(f) ⊆ B, lihat gambar berikut:

B. Bayangan Fungsi

Misal f:A → B. Jika E ⊆ A, bayangan langsung dari E di bawah f adalah f(E) ⊆ B, ditulis sebagai:

f(E) = f(x) : x ∈ E.

Jika H ⊆ B, bayangan invers dari H dibawah f adalah f^-1(H) ⊆ A, ditulis sebagai: 

f^-1(H) = x ∈ A : f(x) ∈ H

Oleh karena itu, D(f) = R(f^-1) dan D(f^-1) = R(f). Lihat gambar berikut:

Invers adalah fungsi yang berbalik arah, sebagaimana telah dibahas tentang invers dari relasi. Misalkan a ∈ A dan b ∈ B dengan f(a) = b, maka f^-1(b) = a.

Catatan: Terkadang bayangan invers dari range belum tentu sama dengan domain, contoh:

Misal f:R → R (fungsi dari bilangan real ke real) didefinisikan sebagai f(x) = x². Maka itu, bayangan langsung dari E = 0 < x < 2 adalah f(E) = 0 < y < 4. Sedangkan jika G = 0 < y < 4, bayangan invers dari G adalah f^-1(G) = -2 < x < 2. Oleh karena itu dalam kasus ini f^-1(G) ≠ E.

C. Fungsi yang Bersifat Istimewa

1. Fungsi Injektif (satu-satu)

Misal f:A → B adalah sebuah fungsi dari A ke B. Fungsi f dikatakan injektif (satu-satu) jika diberikan

 x₁ ≠ x₂ maka f(x₁) ≠ f(x₂) atau dapat ditulis "(∀x₁,x₂).x₁ ≠ x₂ → f(x₁) ≠ f(x₂)" atau kontraposisinya yang semakna dengannya "(∀x₁,x₂).f(x₁) = f(x₂) → x₁ = x₂" yang artinya tidak ada anggota kodomain yang memiliki pasangan lebih dari satu pada domain.

Syarat agar dapat dibuat fungsi injektif adalah banyaknya anggota kodomain lebih dari atau sama dengan banyaknya anggota domain (ditulis n(B) ≥ n(A)).

2. Fungsi Surjektif (pada)

Fungsi f dikatakan surjektif jika f(A) = B (boleh juga ditulis R(f) = B), yang artinya range dari fungsi tersebut sama dengan kodomainnya, dengan kata lain seluruh anggota kodomain memiliki pasangan pada domain, tidak ada anggota kodomain yang tidak memiliki pasangan pada domain. Definisi dari fungsi surjektif dapat ditulis "(∀y)(∃x).f(x) = y".

Syarat agar dapat dibuat fungsi surjektif adalah banyaknya anggota kodomain kurang dari atau sama dengan banyaknya anggota domain (ditulis n(B) ≤ n(A)).

3. Fungsi Bijektif (korespondensi satu-satu)

Fungsi bijektif adalah fungsi yang bersifat injektif dan surjektif sekaligus. Oleh karena itu, untuk menyelidiki apakah suatu fungsi merupakan fungsi bijektif kita perlu menyelidiki apakah fungsi tersebut injektif dan surjektif.

Syarat agar dapat dibuat fungsi bijektif adalah banyaknya anggota kodomain sama dengan banyaknya anggota domain (ditulis n(B) = n(A)).

Invers dari fungsi bijektif adalah fungsi bijektif, sedangkan invers dari fungsi yang tidak bijektif bukanlah fungsi. Karena pada fungsi bijektif berlaku untuk setiap anggota kodomain memiliki tepat satu pasangan pada domain, sehingga inversnya adalah untuk setiap anggota domain memiliki tepat satu pasangan pada kodomain yang merupakan fungsi. Sedangkan fungsi yang tidak bijektif inversnya tidak memenuhi syarat fungsi.

D. Fungsi Komposisi

Jika f:A → B dan g:B → C, fungsi komposisi g ○ f adalah fungsi dari A ke C (ditulis g ○ f:A → C). Misalkan a ∈ A, b ∈ B dan c ∈ C, maka g ○ f(a) = g(f(a)) = g(b) = c. Lihat gambar berikut:

Agar g ○ f dapat dikomposisikan, diharuskan D(g) ∩ R(f) ≠ ∅, karena seandainya irisan dari domain g dan range f adalah himpunan kosong akan mengakibatkan tidak ada elemen yang dapat didefinisikan fungsi komposisi nya.

Perlu diketahui bahwa fungsi komposisi tidak komutatif (g ○ f ≠ f ○ g), oleh karena itu perbedaan urutan mengakibatkan perbedaan hasil, contoh:

Misalkan f(x) = 2x + 5, g(x) = 3x + 1, tentukan (g ○ f)(x) dan (f ○ g)(x)!

(g ○ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 5) = 3(2x + 5) + 1 = 6x + 15 + 1 = 6x + 16

(f ○ g)(x) = f(g(x)) = f(3x + 1) = 2(3x + 1) + 5 = 6x + 2 + 5 = 6x + 7

Dari contoh tersebut jelas keduanya berbeda.

Fungsi komposisi tidak komutatif, akan tetapi asosiatif. Dimana:

 ((f ○ g)○ h)(x) = (f ○(g ○ h))(x) = (f ○ g ○ h)(x) = f(g(h(x)))

Telah dibahas tentang bayangan dan invers fungsi dimana b = f(a) jika dan hanya jika a = f^-1(b). Oleh karena itu dengan menggunakan definisi fungsi komposisi, diperoleh hubungan sebagai berikut:

(f^-1 ○ f)(a) = f^-1(f(a)) = f^-1(b) = a, untuk setiap a ∈ D(f), dan

(f ○ f^-1)(b) = f(f^-1(b)) = f(a) = b, untuk setiap b ∈ R(f)

Hubungan ini dapat digunakan untuk mencari fungsi jika diketahui komposisinya sebagai berikut:

f(a) = (g^-1 ○ g ○ f)(a) = g^-1(g(f(a))) = f(a)

f(a) = (f ○ g ○ g^-1)(a) = f(g(g^-1(a))) = f(a)

Invers dari fungsi komposisi adalah dengan membalik urutan dan menginverskan masing-masing fungsi penyusunnya. Misalkan f(a) = b dan g(b) = c, kita mendapati c = g(b) = g(f(a)) = (g ○ f)(a). Hubungan inversnya adalah b = g^-1(c) dan a = f^-1(b), kita mendapati a = f^-1(b) = f^-1(g^-1(c)) = (f^-1 ○ g^-1)(c). Dari sini diperoleh (g ○ f)^-1(a) = (f^-1 ○ g^-1)(a), dengan membalik urutan dan menginverskan masing-masing fungsi penyusunnya.

Contoh soal dan pembahasan

1. Diberikan fungsi f:R → R yang didefinisikan f(x) = x² jika x < 0, dan -x jika x ≥ 0

a. Tentukan invers dari fungsi f tersebut!

(i) Untuk f(x) = x² dengan domain x < 0:

D(f^-1) = R(f) = x > 0

f^-1(x) = √x atau -√x, agar R(f^-1) = D(f) dipilih f^-1(x) = -√x

(ii) Untuk f(x) = -x dengan domain x ≥ 0:

D(f^-1) = R(f) = x ≤ 0

f^-1(x) = -x

Jadi, f^-1(x) = -√x jika x > 0, dan -x jika x ≤ 0

b. Selidiki apakah f bijektif

Fungsi bijektif adalah fungsi yang bersifat injektif sekaligus surjektif.

(i) Injektif

Untuk x < 0, ambil sebarang x₁,x₂ ∈ D(f) dengan f(x₁) = f(x₂)

f(x₁) = f(x₂)

x₁² = x₂²

(x₁²) - (x₂²) = 0

(x₁ + x₂)(x₁ - x₂) = 0

x₁ = -x₂ (TM) ∨ x₁ = x₂

Untuk x ≥ 0, ambil sebarang x₁,x₂ ∈ D(f) dengan f(x₁) = f(x₂)

f(x₁) = f(x₂)

-x₁ = -x₂

x₁ = x₂

Jadi, f merupakan fungsi injektif

(ii) Surjektif

Untuk y > 0, ambil sebarang y ∈ R, pilih x = -√y sedemikian sehingga

f(x) = x²

f(x) = (-√y)²

f(x) = y

Untuk y ≤ 0, ambil sebarang y ∈ R, pilih x = -y sedemikian sehingga

f(x) = -x

f(x) = -(-y)

f(x) = y

Jadi, f merupakan fungsi surjektif

Karena f injektif dan surjektif, maka f merupakan fungsi bijektif

2. Buktikan bahwa komposisi dari dua fungsi injektif merupakan fungsi injektif!

Misalkan ada dua fungsi injektif f(x) dan g(x), ambil sebarang x₁,x₂ dengan (g○f)(x₁) = (g○f)(x₂), karena g injektif maka f(x₁) = f(x₂), dan karena f injektif maka x₁ = x₂,

Sehingga "jika (g○f)(x₁) = (g○f)(x₂) maka x₁ = x₂" yang artinya (g○f)(x) injektif.

Jadi, komposisi dari dua fungsi injektif merupakan fungsi injektif.

3. Buktikan bahwa komposisi dari dua fungsi surjektif merupakan fungsi surjektif!

Misalkan ada dua fungsi surjektif f dan g, karena g surjektif berlaku (∀c ∈ C)(∃b ∈ B).f(b) = c,

dan karena f surjektif berlaku (∀b ∈ B)(∃a ∈ A).f(a) = b, dengan demikian:

(g○f)(a) = g(f(a)) = g(b) = c, sehingga (∀c ∈ C)(∃a ∈ A).(g○f)(a) = c, yang artinya (g○f)(a) surjektif.

Jadi, komposisi dari dua fungsi surjektif merupakan fungsi surjektif.

Karena komposisi dari dua fungsi injektif merupakan fungsi injektif dan komposisi dari dua fungsi surjektif merupakan fungsi surjektif maka komposisi dari dua fungsi bijektif merupakan fungsi bijektif.

Tonton video fungsi: