Himpunan Hingga dan Himpunan Tak Hingga

Berdasarkan keterhinggaannya, himpunan terbagi menjadi hingga (atau finit) dan tak hingga (atau infinit). Himpunan hingga adalah himpunan yang banyak anggotanya terbatas, dengan kata lain jika dihitung satu per satu maka dapat berhenti penghitungannya. Sedangkan himpunan tak hingga adalah himpunan yang banyak anggotanya tak terbatas, dengan kata lain jika dihitung satu per satu maka tak ada akhirnya.

Sedangkan berdasarkan keterhitungannya (atau countability), himpunan terbagi menjadi terhitung (countable) dan tak terhitung (uncountable). Himpunan terhitung adalah himpunan yang banyak anggotanya terbatas atau jika tak terbatas maka dapat dikorespondensikan satu-satu dengan himpunan bilangan asli (N). Sedangkan himpunan tak terhitung adalah himpunan yang banyak anggotanya tak terbatas dan tidak dapat dikorespondensikan satu-satu dengan himpunan bilangan asli.

Sehingga berdasarkan keterhinggaan dan keterhitungannya himpunan terbagi menjadi himpunan hingga terhitung (countable finite), tak hingga terhitung (countable infinite atau denumerable), dan tak hingga tak terhitung (uncountable infinite).

A. Himpunan Hingga

Berdasarkan banyaknya anggota, himpunan hingga memiliki kemungkinan sebagai berikut:

• Himpunan kosong (∅), memiliki 0 anggota, ditulis n(∅) = 0.
• Himpunan berisi, memiliki n anggota, dengan n bilangan asli

contoh dari himpunan hingga adalah himpunan huruf vokal = {a, e, i, o, u} yang memiliki 5 anggota.

Karena invers dari fungsi bijektif merupakan fungsi bijektif, suatu himpunan dengan n anggota terdapat fungsi bijektif pada himpunan {1, 2, ..., n}. Juga karena komposisi dari fungsi bijektif adalah fungsi bijektif, sebuah himpunan dengan n anggota terdapat fungsi bijektif pada himpunan lain dengan banyak anggota yang sama.

Banyak anggota dari operasi himpunan hingga:

n(A') = n(S) - n(A)

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

n(A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A ∪ B)

n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B)

n(A Δ B) = n(A - B) + n(B - A)

n(A Δ B) = n(A ∪ B) - n(A ∩ B) = n(A) + n(B) - 2n(A ∩ B)

Jika A ⊆ B maka n(A) ≤ n(B)

Jika A ⊆ B maka n(B - A) = n(B) - n(A)

Jika A ⊆ B maka n(A ∩ B) = n(A), dan n(A ∪ B) = n(B)

Jika A // B maka n(A ∪ B) = n(A) + n(B)

n(A × B) = n(B × A) = n(A) × n(B)

n(A × B × C) = n((A × B) × C) = n(A × (B × C)) = n(A) × n(B) × n(C)

Perlu diketahui bahwa meskipun pergandaan himpunan tidak komutatif dan tidak asosiatif, tetapi banyak anggotanya sama.

n(2^A) = 2^n(A), banyak anggota himpunan kuasa dari A sama dengan banyak himpunan bagian dari A.

Misalkan himpunan H dipartisi menjadi {A₁, A₂, …, A_n}, berlaku n(A₁) + n(A₂) + ... + n(A_n) = n(H).

Banyaknya relasi yang dapat dibentuk dari himpunan A dan B sama dengan banyaknya himpunan bagian dari A × B, yaitu sebanyak 2^{n(A) × n(B)} relasi.

Banyaknya relasi yang dapat dibentuk di himpunan yang sama adalah sebanyak 2ⁿ² relasi.

Banyaknya relasi refleksif yang dapat dibentuk di himpunan yang sama adalah sebanyak 2ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾ relasi.

Banyaknya relasi simetrik yang dapat dibentuk di himpunan yang sama adalah sebanyak 2^n(n+1)/2 relasi.

Banyaknya fungsi yang dapat dibentuk dari himpunan A ke B adalah sebanyak n(B)^n(A) fungsi. Banyaknya fungsi yang dapat dibentuk adalah sebanyak anggota kodomain dipangkatkan dengan banyaknya anggota domain.

Banyaknya fungsi injektif yang dapat dibentuk dari himpunan A ke B adalah sebanyak

Banyaknya fungsi bijektif yang dapat dibentuk dari himpunan A ke B adalah sebanyak n! (dibaca n faktorial).

B. Himpunan Tak Hingga Terhitung (Denumerable)

Himpunan tak hingga terhitung memiliki banyak anggota yang tak terhingga (infinite) akan tetapi dapat dihitung searah (countable), dengan kata lain dapat dikorespondensikan satu-satu dengan himpunan bilangan asli. Oleh karena itu, semua himpunan denumerable ekivalen. Contoh:

1. Himpunan Bilangan Asli (N)

Himpunan bilangan asli dapat ditulis "A" (versi Indonesia), atau "N" (versi Internasional), huruf N melambangkan "Natural Numbers". Himpunan ini beranggotakan semua bilangan bulat positif.

N = {1, 2, 3, ...}

2. Himpunan Bilangan Cacah (W)

Himpunan bilangan cacah dapat ditulis "C" (versi Indonesia), atau "W" (versi Internasional), huruf W melambangkan "Whole Numbers". Himpunan ini beranggotakan 0 dan semua bilangan bulat positif.

W = {0, 1, 2, 3, ...}

Dengan kata lain W = {0} ∪ N

3. Himpunan Bilangan Bulat (Z) 

Himpunan bilangan bulat dapat ditulis "B" (versi Indonesia), atau "Z" (versi Internasional) yang mana melambangkan "Zahlen" (bahasa Jerman). Himpunan ini beranggotakan semua bilangan bulat, baik itu positif, nol, maupun negatif.

Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}, jika dilihat sekilas terlihat tak terhitung, akan tetapi dapat diubah urutannya sehingga terlihat terhitung menjadi {0, 1, -1, 2, -2, ...}

4. Himpunan Bilangan Rasional (Q)

Himpunan bilangan rasional dapat ditulis "Q", huruf Q melambangkan "Quotient". Himpunan ini beranggotakan bilangan rasional, yaitu bilangan dalam bentuk a ÷ b dengan a dan b bilangan bulat, b bilangan positif (b > 0), FPB dari a dan b sama dengan 1 (ditulis (a, b) = 1). Jika dilihat sekilas terlihat tak terhitung, akan tetapi dapat dibuktikan terhitung dengan cara indexing, dengan indeks = |a| + b

Misal indeks 1 = {0}, karena angka 0 = 0 / 1, sehingga indeksnya |0| + 1 = 1

indeks 2 = {-1, 1}

indeks 3 = {-1/2, 1/2, -2, 2}

dan seterusnya, urutkan berdasarkan indeks:

Q = {0, -1, 1, -1/2, 1/2, -2, 2, ...}, terbukti bahwa Q terhitung

5. Himpunan Bilangan Radikal (atau Aljabarik)

Himpunan bilangan radikal beranggotakan bilangan radikal, yaitu bilangan dalam tanda akar, yang mana semua bilangan yang ada di dalamnya merupakan bilangan rasional. Himpunan ini juga disebut sebagai himpunan bilangan aljabarik, karena semua anggotanya merupakan solusi dari suatu persamaan polinomial dengan koefisien rasional. Jika dilihat sekilas terlihat tak terhitung, akan tetapi dapat dibuktikan terhitung dengan cara indexing, dengan indeks sama dengan jumlah seluruh nilai mutlak koefisien dan pangkat, lalu diurutkan dari indeks terkecil, dan terbukti keterhitungannya.

Di antara bilangan aljabarik, ada yang real, ada juga yang imajiner. Bilangan imajiner adalah akar dari bilangan negatif, yang mana tidak mungkin ditemui di bilangan real.

C. Himpunan Tak Terhitung

Himpunan tak terhitung adalah himpunan tak hingga yang tidak mungkin dikorespondensikan satu-satu dengan himpunan bilangan asli, contoh:

1. Himpunan Bilangan Transendental

Himpunan bilangan transendental beranggotakan bilangan transendental, yaitu bilangan yang tidak mungkin didapatkan dari solusi suatu persamaan polinomial dengan koefisien rasional, sehingga tak dapat dibuat indeks untuk menghitungnya. Contoh dari bilangan transendental adalah e (bilangan Euler), π (dibaca pi, perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya), dan masih banyak lagi bilangan transendental lainnya yang tak terhitung.

2. Himpunan Bilangan Irasional

Himpunan bilangan irasional adalah gabungan dari himpunan bilangan radikal dengan himpunan bilangan transendental. Dikarenakan terdapat himpunan bagian yang tak terhitung maka himpunan ini tak terhitung.

3. Himpunan Bilangan Real (R)

Himpunan bilangan real, ditulis "R" mencakup seluruh bilangan real, baik itu bulat maupun pecah, baik itu rasional maupun irasional, baik itu aljabarik maupun transendental. Karena di dalamnya terdapat himpunan bagian yang tak terhitung, yaitu himpunan bilangan transendental, maka himpunan ini tak terhitung.

Selang atau Interval adalah himpunan bagian dari bilangan real dengan batas yang ditentukan. Misalkan ditetapkan batas bawah b dan batas atas a, dengan a dan b bilangan real, terdapat kemungkinan:

a. Interval tertutup {x| b ≤ x ≤ a} dinotasikan [b, a]

b. Interval terbuka {x| b < x < a} dinotasikan (b, a)

c. Interval tertutup kiri {x| b ≤ x < a} dinotasikan [b, a)

d. Interval tertutup kanan {x| b < x ≤ a} dinotasikan (b, a]

Catatan: ∞ (dan -∞) selalu terbuka, karena tidak terdefinisi di real.

4. Himpunan Bilangan Imajiner (J)

Himpunan bilangan imajiner ditulis "J" mencakup seluruh bilangan imajiner, yaitu bilangan negatif dalam tanda akar, yang mana tidak ada di dalam bilangan real. Himpunan ini mencakup seluruh bilangan imajiner, baik yang terhitung maupun tak terhitung, termasuk dalam himpunan ini bilangan negatif transendental dalam tanda akar yang tak terhitung, oleh karena itu, himpunan ini tak terhitung.

5. Himpunan Bilangan Kompleks (C)

Himpunan bilangan kompleks ditulis "K" (versi Indonesia), atau "C" (versi Internasional), huruf C melambangkan "Complex", beranggotakan bilangan kompleks, yaitu hasil penjumlahan (atau pengurangan) bilangan real dengan bilangan imajiner. Oleh karena itu, himpunan ini merupakan gabungan dari R dan J, yang mana masing-masing tak terhitung. Sehingga himpunan ini tak terhitung.

Hubungan antar himpunan bilangan:

Himpunan bilangan kompleks adalah superset dari semua himpunan bilangan.

Himpunan bilangan kompleks dipartisi menjadi 2 bagian, yaitu himpunan bilangan real dan himpunan bilangan imajiner.

Himpunan bilangan real terbagi menjadi himpunan bilangan bulat dan himpunan bilangan pecah.

Himpunan bilangan asli merupakan subset dari himpunan bilangan cacah, dan himpunan bilangan cacah merupakan subset dari himpunan bilangan bulat.

Himpunan bilangan pecah terbagi menjadi himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional.

Himpunan bilangan irasional terbagi menjadi himpunan bilangan radikal dan transendental.

Himpunan bilangan real aljabarik mencakup seluruh bilangan real selain bilangan transendental.

Himpunan bilangan imajiner terbagi menjadi imajiner aljabarik dan imajiner transendental.

D. Teorema Seputar Keterhinggaan Himpunan

Jika A dan B himpunan hingga, maka A ∪ B himpunan hingga, begitu juga dengan A ∩ B, A - B, dan B - A semuanya hingga. Karena jumlah maupun selisih dari bilangan hingga adalah bilangan hingga.

Jika A himpunan tak hingga dan B himpunan hingga, maka A ∪ B himpunan tak hingga, A ∩ B himpunan hingga, A - B himpunan tak hingga, dan B - A himpunan hingga. Karena saking besarnya ∞, jika ∞ dikurangi berapapun (kecuali ∞) tetaplah ∞, begitu juga ∞ ditambah berapapun (kecuali -∞, lagi pula banyak anggota himpunan tidak mungkin negatif) tetaplah ∞.

Jika A ⊆ B dan A tak hingga, maka B tak hingga, karena n(A) ≤ n(B). Hal ini mengakibatkan ketakhinggaan A mengharuskan ketakhinggaan B. Teorema ini tidak berlaku sebaliknya.

Jika A ⊆ B dan B hingga, maka A hingga, karena n(A) ≤ n(B). Hal ini mengakibatkan kehinggaan B mengharuskan kehinggaan A. Teorema ini tidak berlaku sebaliknya.

Hasil pergandaan dari himpunan-himpunan hingga adalah himpunan hingga, karena hasil kali bilangan-bilangan hingga adalah bilangan hingga.

Hasil pergandaan dari himpunan-himpunan denumerable adalah himpunan denumerable. Untuk dua himpunan dapat dibuktikan dengan indexing, sedangkan untuk banyak himpunan dapat dibuktikan dengan induksi matematika.

Jika A ⊆ B dan B terhitung, maka A terhitung. Kontraposisinya adalah jika A tak terhitung maka B tak terhitung. Karena mustahil bagi himpunan terhitung untuk memiliki subset tak terhitung, begitu juga mustahil bagi himpunan tak terhitung untuk memiliki superset terhitung.

A adalah himpunan terhitung ≡ ∃ fungsi surjektif N → A ≡ ∃ fungsi injektif A → N. Sebagaimana telah kita ketahui bahwa syarat agar ada fungsi surjektif adalah banyak anggota kodomain kurang dari atau sama dengan banyak anggota domain, karena domainnya tak hingga dan kodomainnya hingga berarti jelas bahwa ada fungsi surjektif. Juga syarat agar ada fungsi injektif adalah banyak anggota kodomain lebih dari atau sama dengan banyak anggota domain, karena kodomainnya tak hingga dan domainnya hingga berarti jelas bahwa ada fungsi injektif. Adapun untuk himpunan denumerable kita tahu bahwa ada fungsi bijektif untuk kedua arah.

Gabungan dari himpunan-himpunan terhitung adalah himpunan terhitung. Untuk 2 himpunan dapat dibuktikan dengan cara mengubah urutan, sedangkan untuk banyak himpunan dapat dibuktikan dengan induksi matematika.

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Apakah gabungan dari dua himpunan yang masing-masing denumarable adalah himpunan denumareble? Jelaskan!

Ambil sebarang dua himpunan yang masing-masing denumerable,

Misalkan A = {a₁, a₂, a₃, …}, B = {b₁, b₂, b₃, …}

Maka A ∪ B={a₁, b₁, a₂, b₂, a₃, b₃, …}

Himpunan A ∪ B ekivalen dengan N. Jadi, A ∪ B himpunan denumerable.

2. Buktikan bahwa gabungan dari banyak himpunan yang masing-masing denumerable adalah himpunan denumerable!

(i) Langkah Pemisalan

Misalkan P(n) = A₁ ∪ A₂ ∪ … ∪ A_n; masing-masing denumerable

(ii) Langkah Basis: Tunjukkan bahwa P(n) benar untuk n = 1

P(1): A₁, jelas denumerable

(iii) Langkah Induksi

Asumsikan P(n) benar untuk n = k

P(k): A₁ ∪ A₂ ∪ … ∪ A_k merupakan himpunan denumerable

Akan ditunjukkan P(n) benar untuk n = k + 1

P(k+1) = A₁ ∪ A₂ ∪ … ∪ A_k ∪ A_k+1

P(k+1) = P(k) ∪ A_k+1; P(k) denumerable berdasarkan asumsi, sedangkan A_k+1 denumerable berdasarkan pernyataan pada soal. Berdasarkan teorema gabungan dua himpunan denumerable, P(k+1) merupakan himpunan denumerable karena hasil penggabungan dua himpunan denumerable.

(iv) Konklusi

Karena telah ditunjukkan bahwa P(1) benar, dan diasumsikan bahwa P(k) benar, sehingga dapat ditunjukkan bahwa P(k+1) benar, maka P(n) benar untuk semua n ∈ N. Terbukti.

3. Jika N adalah himpunan bilangan asli, maka buktikan bahwa himpunan N × N adalah himpunan denumerable!

N = {1, 2, 3, …}

Hasil pergandaan himpunan beranggotakan pasangan terurut, misalkan (i, k), dengan i, k ∈ N

Kita buat indexing dengan indeksnya i + k, diperoleh:

Indeks 2 memuat (1, 1)

Indeks 3 memuat (1, 2), (2, 1)

Indeks 4 memuat (1, 3), (2, 2), (3, 1)

dan seterusnya.

Jika semua pasangan terurut tersebut dibariskan didapat barisan sebagai berikut:

N × N = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 3), …}

Jelas bahwa himpunan pasangan terurut tersebut denumerable.

Tonton video himpunan denumerable: