Keluarga Himpunan, Himpunan Kuasa, Himpunan Indeks, Partisi Himpunan

1. Keluarga Himpunan (Famili)

Keluarga himpunan adalah himpunan yang semua anggotanya merupakan himpunan. 

Contoh: A = {{1, 2}, {a}, {b, c}}

A merupakan keluarga himpunan karena semua anggotanya berupa himpunan.

2. Himpunan Kuasa (Power set)

Himpunan kuasa (ditulis 2A) adalah keluarga himpunan yang beranggotakan himpunan bagian dari A.

Contoh: A = {a, b, c}, 2A = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

banyaknya anggota himpunan kuasa dari A sama dengan banyaknya himpunan bagian dari A, misalkan himpunan A terdiri dari n anggota berarti himpunan kuasa dari A memiliki 2n anggota.

3. Himpunan Indeks

Himpunan indeks (ditulis I) adalah himpunan yang terdiri atas indeks-indeks.

Misalkan I = {1, 2, 3, ...}

Indeks irisan Hi = H1 ∩ H2 ∩ …

Indeks gabungan Hi = H1 ∪ H2 ∪ …

4. Partisi Himpunan

Suatu himpunan H dapat dipartisi menjadi beberapa himpunan bagian yang saling lepas dan gabungan keseluruhannya sama dengan H. Himpunan bagian pada suatu partisi disebut "sel". Misal himpunan H dipartisi menjadi {A1, A2, …, An} jika dan hanya jika:

(i) Gabungan dari seluruh partisinya sama dengan H

disimbolkan A1 ∪ A2 ∪ … An = H

(ii) Irisan masing-masing sepasang adalah himpunan kosong

disimbolkan (∀i,j).i ≠ j → Ai ∩ Aj = ∅

Contoh:

H = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 4}, B = {2, 5}, C = {3, 6}

(i) A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = H

(ii) A ∩ B = ∅, A ∩ C = ∅, B ∩ C = ∅

A, B, C adalah partisi dari H karena gabungannya sama dengan H dan irisan masing-masing sepasang adalah himpunan kosong.


Buktikan bahwa jika H = A ∪ B maka H dapat dipartisi menjadi tiga himpunan!

H = A ∪ B dapat dipartisi menjadi tiga himpunan yaitu A - B; A ∩ B; dan B - A

(i) (A - B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B - A)

= (A ∩ B′) ∪ (A ∩ B) ∪ (B ∩ A′)

= ((A ∩ (B′ ∪ B)) ∪ (B ∩ A′)

= (A ∩ S) ∪ (B ∩ A′)

= A ∪ (B ∩ A′)

= (A ∪ B) ∩ (A ∪ A′)

= (A ∪ B) ∩ S

= A ∪ B

= H

(ii) Irisan masing-masing sepasang

Untuk (A - B) ∩ (A ∩ B):

= (A ∩ B′) ∩ (A ∩ B) = ∅

Untuk (A - B) ∩ (B - A):

= (A ∩ B′) ∩ (B ∩ A′) = ∅

Untuk (A ∩ B) ∩ (B - A):

= (A ∩ B) ∩ (B ∩ A′) = ∅

Gabungan dari ketiganya adalah H, dan irisan masing-masing sepasang adalah himpunan kosong. Oleh karena itu ketiganya merupakan partisi dari H.

Terbukti

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Uji Linearitas dan Keberartian Regresi

Gambar
1. Uji Linearitas Regresi ➢ Analisis regresi mengharuskan adanya hubungan fungsional antara X dan Y yang linear → perubahan nilai di salah satu variabel independen akan menghasilkan perubahan yang konstan pada variabel dependen. ➢ Tujuan linearitas pada regresi adalah meyakinkan hubungan linear pada X dan Y dan juga dampak dari model tersebut. Selain itu, residu tersisa sudah tidak memiliki pola tertentu sehingga memastikan bahwa model yang dikeluarkan benar tepat.  ➢ Tidak dipenuhinya asumsi linearitas menjadikan estimasi parameter regresi menjadi bias (koefisien regresi, kesalahan baku, dan pengujian signifikansi) yang berakibat model regresi menjadi tidak tepat jika digunakan untuk prediksi. ➢ Hasil analisis regresi yang underfitting atau overfitting serta resiko kesalahan tipe I atau tipe II menjadi sangat besar. Berikut langkah-langkah uji linearitas: 1. Urutkan dan Kelompokkan Data Data diurutkan berdasarkan nilai X dari terkecil hingga terbesar. Data dengan nilai X yang sama...
Read more »

Limit dan Kekontinuan Fungsi Dua Variabel

Gambar
Mungkin tampak aneh bahwa kita membahas turunan parsial sebelum limit untuk fungsi dua variabel atau lebih. Namun, diferensiasi parsial sebenarnya merupakan ide yang lebih sederhana karena semua variabel kecuali satu variabel dijaga tetap. Satu-satunya konsep yang diperlukan untuk mendefinisikan turunan parsial adalah limit dari suatu fungsi satu variabel. Di sisi lain, limit dari suatu fungsi dua (atau lebih) variabel adalah konsep yang lebih dalam karena kita harus memperhitungkan semua cara di mana (x, y) mendekati (a, b). Ini tidak dapat disederhanakan menjadi memperlakukan "satu variabel pada satu waktu" seperti diferensiasi parsial. Limit dari suatu fungsi dua variabel memiliki arti intuitif yang biasa: Nilai-nilai f(x, y) semakin mendekati angka L ketika (x, y) mendekati (a, b). Masalahnya adalah bahwa (x, y) dapat mendekati (a, b) dengan cara yang tak terhingga banyaknya. Kita menginginkan definisi yang memberikan L yang sama tidak peduli jalur apa yang diambil (x, y)...
Read more »

Sistem Persamaan Diferensial Linier Homogen Berkoefisien Konstan

Gambar
1. Pengenalan Di halaman ini kita akan membahas sistem linear homogen dx/dt = a₁x + b₁y dy/dt = a₂x + b₂y dimana koefisien a₁, b₁, a₂, dan b₂ adalah konstanta real. Kita mencari solusi dari sistem ini; tapi bagaimana kita harus melanjutkannya? Ingatlah kembali bahwa kita mencari dan menemukan solusi eksponensial dari sistem linear tunggal berderajat n dengan koefisien konstan. Mengingat analogi yang ada antara sistem linear dan persamaan diferensial tingkat-tinggi tunggal, kita sekarang mungkin bisa mencoba menemukan solusi eksponensial dari sistem tersebut. Oleh karena itu mari kita coba tentukan solusi dalam bentuk x = Ae λt   y = Be λt   dimana A, B, dan λ adalah konstanta. Jika kita substitusikan bentuk eksponensial ke dalam persamaan awal, kita mendapatkan Aλe λt  = a₁Ae λt  + b₁Be λt   Bλe λt  = a₂Ae λt  + b₂Be λt   Persamaan-persamaan ini mengarah langsung ke sistem (a₁ – λ)A + b₁B = 0 a₂A + (b₂ – λ)B = 0 dalam variabel-variabel yang tidak ...
Read more »