Keluarga Himpunan, Himpunan Kuasa, Himpunan Indeks, Partisi Himpunan

1. Keluarga Himpunan (Famili)

Keluarga himpunan adalah himpunan yang semua anggotanya merupakan himpunan. 

Contoh: A = {{1, 2}, {a}, {b, c}}

A merupakan keluarga himpunan karena semua anggotanya berupa himpunan.

2. Himpunan Kuasa (Power set)

Himpunan kuasa (ditulis 2^A) adalah keluarga himpunan yang beranggotakan himpunan bagian dari A.

Contoh: A = {a, b, c}, 2^A = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

banyaknya anggota himpunan kuasa dari A sama dengan banyaknya himpunan bagian dari A, misalkan himpunan A terdiri dari n anggota berarti himpunan kuasa dari A memiliki 2ⁿ anggota.

3. Himpunan Indeks

Himpunan indeks (ditulis I) adalah himpunan yang terdiri atas indeks-indeks.

Misalkan I = {1, 2, 3, ...}

Indeks irisan H_i = H₁ ∩ H₂ ∩ …

Indeks gabungan H_i = H₁ ∪ H₂ ∪ …

4. Partisi Himpunan

Suatu himpunan H dapat dipartisi menjadi beberapa himpunan bagian yang saling lepas dan gabungan keseluruhannya sama dengan H. Himpunan bagian pada suatu partisi disebut "sel". Misal himpunan H dipartisi menjadi {A₁, A₂, …, A_n} jika dan hanya jika:

(i) Gabungan dari seluruh partisinya sama dengan H

disimbolkan A₁ ∪ A₂ ∪ … A_n = H

(ii) Irisan masing-masing sepasang adalah himpunan kosong

disimbolkan (∀i,j).i ≠ j → A_i ∩ A_j = ∅

Contoh:

H = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 4}, B = {2, 5}, C = {3, 6}

(i) A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = H

(ii) A ∩ B = ∅, A ∩ C = ∅, B ∩ C = ∅

A, B, C adalah partisi dari H karena gabungannya sama dengan H dan irisan masing-masing sepasang adalah himpunan kosong.

Buktikan bahwa jika H = A ∪ B maka H dapat dipartisi menjadi tiga himpunan!

H = A ∪ B dapat dipartisi menjadi tiga himpunan yaitu A - B; A ∩ B; dan B - A

(i) (A - B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B - A)

= (A ∩ B′) ∪ (A ∩ B) ∪ (B ∩ A′)

= ((A ∩ (B′ ∪ B)) ∪ (B ∩ A′)

= (A ∩ S) ∪ (B ∩ A′)

= A ∪ (B ∩ A′)

= (A ∪ B) ∩ (A ∪ A′)

= (A ∪ B) ∩ S

= A ∪ B

= H

(ii) Irisan masing-masing sepasang

Untuk (A - B) ∩ (A ∩ B):

= (A ∩ B′) ∩ (A ∩ B) = ∅

Untuk (A - B) ∩ (B - A):

= (A ∩ B′) ∩ (B ∩ A′) = ∅

Untuk (A ∩ B) ∩ (B - A):

= (A ∩ B) ∩ (B ∩ A′) = ∅

Gabungan dari ketiganya adalah H, dan irisan masing-masing sepasang adalah himpunan kosong. Oleh karena itu ketiganya merupakan partisi dari H.

Terbukti