Macam - Macam Himpunan

 Himpunan terbagi menjadi berbagai macam:

1. Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Biasanya ditulis ∅ atau {}.

Contoh:

Himpunan bilangan yang lebih besar dari 3 dan lebih kecil dari 1, atau H = {x| x > 3 dan x < 1}.

Tidak mungkin ditemukan bilangan yang lebih besar dari 3 dan lebih kecil dari 1.

2. Himpunan Semesta

Himpunan semesta adalah himpunan yang beranggotakan semua objek yang dibicarakan. Biasanya ditulis S atau U (universal). Contoh:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2}, B = {4, 5}

S mencakup semua objek yang dibicarakan

3. Himpunan berhingga (finit) dan Himpunan tak berhingga (infinit)

Himpunan berhingga adalah himpunan dengan banyak anggota berhingga, sedangkan himpunan tak berhingga adalah himpunan dengan banyak anggota tak berhingga.

Contoh himpunan berhingga: Himpunan huruf vokal = {a, i, u, e, o}

Contoh himpunan tak berhingga: Himpunan bilangan asli = {1, 2, 3, ...}

4. Himpunan Bagian (Subset)

Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B, jika setiap anggota A merupakan anggota B. Dinyatakan dengan simbol A ⊆ B. Berikut definisi subset:

(∀x).x ∈ A ⇒ x ∈ B

"Untuk semua x, jika x anggota dari A, maka x anggota dari B".

Misal A adalah himpunan bilangan asli dan B adalah himpunan bilangan bulat. Setiap anggota A merupakan anggota B, tetapi tidak sebaliknya. Berikut gambaran subset:

A ⊆ B semakna dengan B ⊇ A, yang artinya "B adalah superset dari A".

Banyaknya himpunan bagian dari himpunan dengan n anggota adalah 2ⁿ, sedangkan banyaknya himpunan bagian dengan r anggota dari himpunan dengan n anggota adalah .

Teorema subset:

"Himpunan kosong adalah himpunan bagian dari semua himpunan". Bukti:

Ambil sebarang himpunan, sebut saja "H", didefinisikan sebagai berikut:

(∀x).x ∈ ∅ ⇒ x ∈ H

Pernyataan ini berbentuk implikasi, dimana antesedennya salah, yaitu x anggota himpunan kosong, karena himpunan kosong tidak memiliki anggota. Karena antesedennya salah maka implikasi tersebut benar.

"Semua himpunan adalah himpunan bagian dari semesta". Bukti:

Ambil sebarang himpunan, sebut saja "H", didefinisikan sebagai berikut:

(∀x).x ∈ H ⇒ x ∈ S
Pernyataan ini berbentuk implikasi, dimana konsekuennya benar, yaitu x anggota semesta, karena elemen apapun pasti anggota dari semesta. Karena konsekuennya benar maka implikasi tersebut benar.

"Semua himpunan adalah himpunan bagian dari dirinya sendiri". Bukti:

Ambil sebarang himpunan, sebut saja "H", didefinisikan sebagai berikut:

(∀x).x ∈ H ⇒ x ∈ H

Pernyataan ini berbentuk implikasi, dimana anteseden dan konsekuennya sama, dengan kata lain mengimplikasikan suatu pernyataan kepada dirinya sendiri. Oleh karena itu implikasi tersebut benar.

5. Kesamaan Himpunan

Dua himpunan A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika setiap anggota A adalah anggota B dan setiap anggota B adalah anggota A. Dengan kata lain, dua himpunan yang sama berarti saling subset.

A sama dengan B ditulis "A = B". Disimbolkan sebagai berikut:

A = B ↔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A 

≡ (∀x).x ∈ A → x ∈ B ∧ (∀x).x ∈ B → x ∈ A 

≡ (∀x).x ∈ A ↔ x ∈ B 

Kesamaan dua himpunan juga dapat didefinisikan tanpa kuantor sebagai:

{x | x ∈ A} = {x | x ∈ B}

Adanya definisi kesamaan dua himpunan mengakibatkan adanya himpunan bagian murni, yaitu misalkan A adalah himpunan bagian murni dari B, itu artinya A adalah himpunan bagian dari B dan A tidak sama dengan B. Ditulis sebagai A ⊂ B. Definisi himpunan bagian murni:

Didefinisikan sebagai "A subset B" dengan diberi jaminan "B bukan subset A".

6. Himpunan Ekivalen

Himpunan A dan B disebut dua himpunan yang ekivalen, jika dan hanya jika:

a. n(A) = n(B), untuk A dan B himpunan berhingga.

b. A dan B berkorespondensi satu-satu, untuk A dan B himpunan tak berhingga.

Contoh untuk himpunan berhingga: A = {a, b, c, d}, B = {e, f, g, h}, n(A) = n(B) = 4

Contoh untuk himpunan tak berhingga: himpunan bulat positif dengan bilangan bulat negatif

7. Himpunan Berpotongan

Dua himpunan A dan B dikatakan berpotongan jika dan hanya jika dari kedua himpunan itu ada anggota yang sama. A berpotongan dengan B ditulis "A ∝ B", didefinisikan sebagai:

(∃x).x ∈ A ∧ x ∈ B

"Ada x dimana x anggota A dan x anggota B"

Contoh: A = {3, 4, 5, 6}, B = {2, 5, 8}, A dan B berpotongan karena ada anggota yang sama, yaitu {5}

Berikut gambaran himpunan berpotongan:

8. Himpunan Lepas

Dua himpunan A dan B dikatakan lepas jika dan hanya jika kedua himpunan tersebut tidak kosong dan tidak ada anggota yang sama. A saling lepas dengan B dituliskan "A // B".

Definisi himpunan lepas:

Definisinya memberikan jaminan keduanya tidak kosong karena memiliki anggota, dan dijaminkan juga tidak ada anggota yang sama.

Contoh: A = himpunan bilangan positif, B = himpunan bilangan negatif, keduanya saling lepas karena masing-masing tidak kosong, dan tidak ada anggota yang sama.

Berikut gambaran himpunan saling lepas:

9. Famili Himpunan

Telah dikemukakan bahwa anggota dari suatu himpunan dapat berupa objek apa saja, jadi bisa saja suatu himpunan beranggotakan himpunan. Famili himpunan adalah himpunan yang mempunyai anggota himpunan. 

Contoh: A = {{1, 2}, {3, 5}, {4}}, A merupakan famili himpunan karena semua anggotanya merupakan himpunan.