Penalaran dan Pembuktian

A. Penalaran

Penalaran adalah rangkaian proses berfikir untuk mendapatkan pernyataan baru dari pernyataan-pernyataan sebelumnya. Ada 2 macam penalaran:

1) Penalaran Induktif: Dari khusus ke umum

contoh:

(i) Pak Ali guru matematika gajinya > 10 juta

(ii) Bu Endang guru matematika gajinya > 10 juta

Jadi, semua guru matematika > 10 juta

Penalaran di atas tidak valid (tidak sahih)

2) Penalaran Deduktif: Dari umum ke khusus

contoh:

Semua hewan akan mati

Jadi, kucing juga akan mati

Penalaran di atas valid (sahih)

contoh lain:

B. Pembuktian

Pembuktian merupakan salah satu dari penalaran deduktif. Penalaran deduktif adalah penarikan kesimpulan berangkat dari premis-premis khusus ke kesimpulan yang bersifat umum. Penalaran deduktif merupakan salah satu penarikan kesimpulan yang valid. Pembuktian bisa dengan cara langsung, bisa juga tidak langsung.

1. Pembuktian langsung

Pada pembuktian langsung digunakan penalaran yang mendasarkan pada silogisma hipotetik. Contoh:

Buktikan bahwa jika a dan b adalah bilangan ganjil maka a + b adalah bilangan genap!

penyelesaian:

a ganjil ∧ b ganjil → a = 2m + 1 ∧ b = 2n + 1 dengan m, n ∈ B

a = 2m + 1 ∧ b = 2n + 1 dengan m, n ∈ B → a + b = 2m + 1 + 2n + 1

a + b = 2m + 1 + 2n + 1 → a + b = 2m + 2n + 2

a + b = 2m + 2n + 2 → a + b = 2(m + n + 1)

a + b = 2(m + n + 1) → a + b = 2K dengan k ∈ B

a + b = 2K dengan k ∈ B → a + b genap

∴ a ganjil ∧ b ganjil → a + b genap

2. Pembuktian tak langsung

a. Pembuktian dengan kontraposisi

Pembuktian dengan cara kontraposisi mendasarkan pada pernyataan implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya. Contoh:

b. Pembuktian dengan kontradiksi

Pembuktian dengan cara kontradiksi adalah dengan mengandaikan negasi dari suatu pernyataan adalah salah. Dengan terbukti bahwa negasinya salah, berarti terbukti bahwa pernyataan tersebut benar. Bukti secara kontradiksi dibenarkan di dalam matematika karena nilai kebenaran suatu pernyataan selalu berlawanan dengan negasinya. Sehingga dengan terbukti bahwa negasinya salah, berarti terbukti bahwa pernyataan tersebut benar.

Langkah yang dilakukan dengan mengandaikan salah pernyataan q selanjutnya kita gunakan pernyataan p akhirnya diarahkan untuk terjadi sebuah kontradiksi. Kontradiksi yang dimaksud dapat merupakan pernyataan yang bertentangan dengan p atau pernyataan yang bertentengan dengan kebenaran yang telah ada. Contoh: