Relasi Antar Anggota Himpunan

A. Relasi adalah hubungan antar anggota himpunan, baik itu di himpunan yang sama maupun berbeda. Misal ada himpunan X = {1, 2, 3} dan Y = {2, 3, 4} dengan relasi dari X ke Y "lebih besar atau sama dengan". Ada berbagai cara untuk menyatakan relasi, diantaranya:

1. Diagram Panah

caranya dengan menarik tanda panah dari anggota X yang berelasi dengan anggota Y.

2. Graf Berarah

caranya dengan menjadikan setiap anggota yang berelasi sebagai titik, sedangkan relasinya dijadikan sisi pada graf.

3. Matriks

Sebelum membuat matriks, dibuat tabel terlebih dahulu. Untuk elemen yang tidak berelasi diberi angka 0, sedangkan elemen yang berelasi diberi angka 1.

Setelah dibuat tabel, masukkan tabel ke dalam matriks sebagaimana berikut:

B. Relasi Biner

Suatu relasi R antara elemen-elemen dalam himpunan X dengan elemen-elemen dalam himpunan Y dapat dinyatakan dalam himpunan pasangan terurut (x, y) dimana elemen x ∈ X berelasi dengan elemen y ∈ Y, yaitu:

R = {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y, x berelasi dengan y}

relasi "lebih besar atau sama dengan" pada contoh diatas dapat dinyatakan sebagai berikut:

R = {(2, 2), (3, 2), (3, 3)}

Jelas bahwa relasi R antara antara elemen-elemen dalam himpunan X dengan elemen-elemen dalam himpunan Y merupakan himpunan bagian dari pergandaan cartesius X × Y (ditulis R ⊆ X × Y). Sebaliknya setiap himpunan bagian dari pergandaan cartesius X × Y dipandang sebagai suatu relasi antara elemen-elemen dalam himpunan X dengan elemen-elemen dalam himpunan Y. Relasi antara elemen-elemen dalam dua buah himpunan disebut sebagai relasi biner.

Jika elemen x ∈ X berelasi R dengan y ∈ Y, maka dilambangkan dengan (x, y) ∈ R atau terkadang dilambangkan xRy. Sedangkan jika elemen x ∈ X tidak berelasi R dengan y ∈ Y, maka dilambangkan dengan (x, y) ∉ R.

Domain dari xRy adalah: dom R = {x ∈ X | (∃y ∈ Y); (x, y) ∈ R}

Sedangkan range xRy adalah: ran R = {y ∈ Y | (∃x ∈ X); (x, y) ∈ R}

Relasi biner dapat diperluas menjadi relasi antara elemen dalam n buah himpunan yang didefinisikan sebagai berikut:

R ⊆ X₁ × X₂ × … × X_n

C. Invers dari relasi biner

Misalkan R adalah relasi biner antara elemen-elemen dalam himpunan X dengan elemen-elemen dalam himpunan Y, maka invers dari relasi R (ditulis R^-1) adalah relasi antara elemen-elemen dalam himpunan Y dengan elemen-elemen dalam himpunan X dengan (x, y) ∈ R^-1 bila dan hanya bila (y, x) ∈ R. Jadi,

R^-1 = {(y, x) | y ∈ Y, x ∈ X, (x, y) ∈ R}

Pada contoh diatas, diberikan R = {(2, 2), (3, 2), (3, 3)}, invers dari R adalah:

R^-1 = {(2, 2), (2, 3), (3, 3)}

Berdasarkan definisi invers diperoleh matriks dari invers relasi adalah transpose nya.

Misalkan diberikan matriks dari contoh diatas sebagai berikut:

maka matriks dari invers nya adalah:

yang  merupakan transpose dari matriks R

Contoh soal dan pembahasan

1. Diketahui himpunan X = {2, 3, 4, 5, 6} dan Y = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dan relasi R dari himpunan X ke himpunan Y yang didefinisikan sebagai "xRy jika dan hanya jika x adalah pembagi dari y". Nyatakanlah relasi R tersebut sebagai himpunan pasangan terurut dan sebagai matriks, tentukanlah inversnya sebagai himpunan pasangan terurut dan sebagai matriks!

Himpunan pasangan terurut R = {(2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8), (5, 5), (6, 6)}

sedangkan matriksnya adalah:

0	1	0	1	0	1	0
1	0	0	1	0	0	1
0	1	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0	0
0	0	0	1	0	0	0

Invers dalam himpunan pasangan terurut:

R^-1 ={(3, 3), (4, 2), (4, 4), (5, 5), (6, 2), (6, 3), (6, 6), (8, 2), (8, 4), (9, 3)}

sedangkan invers dalam matriks:

0	1	0	0	0
1	0	1	0	0
0	0	0	1	0
1	1	0	0	1
0	0	0	0	0
1	0	1	0	0
0	1	0	0	0

2. Pada himpunan X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} didefinisikan relasi R = {(x, y) | x + y = 3n, dengan n ∈ B}

(a) Tulislah relasi R tersebut sebagai himpunan pasangan terurut

R = {(1, 2), (1, 5), (1, 8), (2, 1), (2, 4), (2, 7), (2, 10), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 2), (4, 5), (4, 8), (5, 1), (5, 4), (5, 7), (5, 10), (6, 3), (6, 6), (6, 9), (7, 2), (7, 5), (7, 8), (8, 1), (8, 4), (8, 7), (8, 10), (9, 3), (9, 6), (9, 9), (10, 2), (10, 5), (10, 8)}

(b) Tentukan relasi R^-1 sebagai himpunan pasangan terurut

R^-1 = {(1, 2), (1, 5), (1, 8), (2, 1), (2, 4), (2, 7), (2, 10), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 2), (4, 5), (4, 8), (5, 1), (5, 4), (5, 7), (5, 10), (6, 3), (6, 6), (6, 9), (7, 2), (7, 5), (7, 8), (8, 1), (8, 4), (8, 7), (8, 10), (9, 3), (9, 6), (9, 9), (10, 2), (10, 5), (10, 8)}

(c) Tentukanlah dom R dan ran R

dom R = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},  ran R = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Tonton video relasi antar anggota himpunan: