Antiturunan

Operasi balikan sering kali diperlukan untuk menyelesaikan permasalahan. Untuk menyelesaikan permasalahan yang melibatkan turunan diperlukan operasi kebalikan dari pendiferensiasian yang disebut antidiferensiasi atau integrasi.

Definisi antiturunan:

"Suatu fungsi F disebut antiturunan dari fungsi f pada interval I jika F'(x) = f(x) untuk semua x dalam I".

contoh:

Misalkan F(x) = x⁴, f(x) = 4x³, turunan F adalah:

F'(x) = 4.x^4–1 = 4x³ = f(x)

F merupakan antiturunan dari f karena turunan F adalah f

Teorema: "Jika F merupakan antiturunan dari f pada interval I, maka untuk setiap konstanta C fungsi F(x) + C juga merupakan antiturunan pada interval tersebut".

Mengapa demikian? karena turunan dari konstanta sama dengan 0, sehingga fungsi-fungsi yang hanya berbeda konstantanya (misal F(x), F(x) + 1, F(x) + 2, dll) memiliki turunan yang sama (yaitu f), dengan kata lain fungsi-fungsi tersebut merupakan antiturunan dari fungsi f.

Selanjutnya, setiap antiturunan dari f pada interval I dapat dinyatakan dalam bentuk F(x) = x + C untuk suatu C bilangan real.

Kita namakan famili dari semua antiturunan dengan antiturunan umum dari f

contoh: antiturunan umum dari f(x) = 4x³ adalah F(x) = x⁴ + C

Gottfried Wilhelm von Leibniz menyebut antiturunan sebagai integral tak tentu. Proses mencari antiturunan disebut mengintegralkan. Integral tak tentu dari f disimbolkan ∫f(x) dx, simbol ∫ disebut tanda integral, dan f(x) disebut integran. Jadi, mengintegralkan integran berarti menentukan integral tak tentu.

contoh: ∫4x³ dx = x⁴ + C

secara umum ∫f'(x) dx = f(x) + C