Bentuk-bentuk yang Familiar dan Pengukuran

A. Bentuk-bentuk yang Familiar

Bentuk-bentuk yang familiar dapat ditemukan pada benda-benda umum sehari-hari, seperti tabung, kubus, dan bola. Memang benar, kontak pertama Anda dengan geometri tidak diragukan lagi adalah ketika, sebagai seorang balita, Anda membenturkan diri Anda ke sudut meja; saat itu juga Anda berkenalan dengan sudut segitiga, yang dibentuk oleh tiga permukaan yang bertemu pada satu titik yang sama. Contoh bentuk-bentuk yang familiar:

B. Pengukuran

Pada umumnya kita menganggap jarak antara dua tempat adalah rentangan sependek mungkin di antaranya dan kita menyebutnya garis lurus. Ukuran jarak tersebut disebut panjang segmen lurus. Di masa lalu, ukuran jarak belum dibakukan seperti jengkal, jari, hasta, lemparan batu, sehari perjalanan, dan semacamnya. Dalam perkembangan peradaban kita menggunakan ukuran yang sudah dibakukan seperti inci, kilometer, mil.

Keliling suatu bangun geometri adalah panjang total seluruh pinggiran bangun tersebut. Jadi keliling suatu segitiga sama dengan jumlah ketiga sisinya; jika sama panjang, seperti pada segitiga sama sisi, maka kelilingnya adalah tiga kali panjang sisinya. Begitu juga persegi yang kelilingnya empat kali panjang sisinya, dan lain-lain.

Diantara hubungan antar sisi yang familiar ada rumus Pythagoras, dimana kuadrat sisi miring (disebut hipotenusa) pada segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat sisi lainnya.

Sebagai contoh, diketahui suatu segitiga siku-siku dengan panjang sisi lain (selain sisi miring) 3 satuan dan 4 satuan, maka panjang sisi miringnya adalah 5 satuan karena 3² + 4² = 5² (atau dengan bentuk lain 9 + 16 = 25).

Tripel (a,b,c) dari tiga bilangan asli disebut tripel Pythagoras jika kuadrat bilangan yang terbesar sama dengan jumlah kuadrat bilangan yang lain. Untuk membuat tripel Pythagoras, tentukan 2 bilangan m dan n dengan m > n, lalu tentukan a, b, dan c dengan a sama dengan selisih kuadrat m dan n, b sama dengan dua kali hasil kali m dengan n, c sama dengan jumlah kuadrat m dan n. Penjelasan sebagai berikut:

a = m² – n², b = 2mn, c = m² + n²

a² + b² = c²

(m² – n²)² + (2mn)² = (m² + n²)²

m⁴ + n⁴ – 2m²n² + 4m²n² = m⁴ + n⁴ + 2m²n²

m⁴ + n⁴ + 2m²n² = m⁴ + n⁴ + 2m²n²

∴ a, b, c merupakan tripel Pythagoras

Pengukuran luas pun juga menjadi perhatian sejak dahulu kala. Manusia cenderung menjadikan persegi sebagai satuan luas, seperti inci persegi, sentimeter persegi, dan semacamnya.

Mudah difahami bahwa luas persegi panjang adalah panjang dikalikan dengan lebarnya, sebagaimana menyusun benda-benda berukuran sama dalam formasi persegi panjang. Sedangkan persegi, panjang dan lebarnya sama, sehingga luas persegi adalah kuadrat panjang sisinya.

Mudah bagi jajargenjang untuk diubah bentuk menjadi persegi panjang, yaitu dengan memotong sebagiannya dan dipindahkan ke bagian lain, didapatkanlah luas jajargenjang adalah alas kali tinggi.

Suatu jajargenjang dapat dibagi menjadi dua segitiga yang sama besar (disebut kongruen), sehingga didapati luas segitiga adalah setengah luas jajargenjang, yaitu setengah alas kali tinggi. Selanjutnya perhatikan persegi berikut:

Diberikan suatu persegi besar dengan persegi kecil di dalamnya. Persegi kecil diposisikan sedemikian hingga semua titik sudutnya menyinggung sisi persegi kecil, terbentuklah 4 segitiga siku-siku yang mana sisi-sisinya sama panjang, yaitu a dan b pada persegi besar, dan c merupakan sisi miring segitiga siku-siku sekaligus sisi persegi kecil. Diperoleh persamaan berikut:

(a + b)² = c² + 4.½.ab

a² + b² + 2.ab = c² + 2.ab, kurangi masing ruas dengan 2ab

a² + b² = c²

Diharapkan dengan adanya ilustrasi ini pembaca lebih faham mengapa berlaku teorema Pythagoras

Suatu trapesium dapat dipartisi menjadi dua segitiga dengan tinggi yang sama (meskipun alasnya berbeda), sehingga didapati luas trapesium adalah setengah kali tinggi kali jumlah kedua alasnya (alas atas dan alas bawah).

Luas lingkaran adalah π dikalikan kuadrat jari-jarinya, dimana π sekitar 3,14. Sedangkan luas juring adalah sudut pusat dibagi 360 derajat dikalikan luas lingkaran.

Bangun ruang dengan bentuk tertentu dapat dengan mudah dihitung volumenya. Untuk bentuk kubus volumenya adalah pangkat tiga dari panjang rusuknya, untuk balok volumenya panjang kali lebar kali tinggi, untuk prisma (bangun ruang dengan kedua alasnya sama bentuk dan sama ukuran) volumenya luas alas dikali tinggi, sedangkan limas (bangun ruang dengan satu alas dan satu titik puncak) volumenya sepertinga volume prisma. Prisma dengan alas berbentuk lingkaran disebut tabung, sedangkan limas dengan alas berbentuk lingkaran disebut kerucut.