Eliminasi Gauss

Jika diperhatikan dengan seksama, maka untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear, cukup diperhatikan koefisien dari masing-masing variable. Misalkan:

x₁ + 2x₂ + x₃ = 8 (i)

2x₁ + x₂ – x₃ = 1 (ii)

3x₁ + 2x₂ + x₃ = 10 (iii)

Oleh karena itu untuk menyelesaikan sistem persamaan linear seperti di atas, dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut:

	1	2	1	8
	2	1	-1	1
	3	2	1	10

Bentuk seperti ini dinamakan matriks augmentasi (augmented matrix form).

Eliminasi Gauss

Matriks augmentasi di atas dapat dilakukan OBE (operasi baris elementer) sebagai berikut:

R₂ = R₂ – 2R₁, R₃ = R₃ – 3R₁ menjadi:

	1	2	1	8
	0	-3	-3	-15
	0	-4	-2	-14

R₃ = 3R₃ – 4R₂ menjadi:

	1	2	1	8
	0	-3	-3	-15
	0	0	6	18

bentuk terakhir ini disebut eselon baris, bentuk dengan elemen dibawah diagonal utama 0.

Setelah matriks augmentasi menjadi matriks dalam bentuk eselon baris, maka kita dapat memperoleh solusi sistem persamaan linear tersebut dengan melakukan substitusi dimulai dari baris terakhir. Pada sistem persamaan linear di atas:

x₃ = 18/6 = 3, substitusikan ke baris 2 diperoleh:

x₂ = (-15 – (-3).3)/(-3) = 2, substitusikan ke baris 1 diperoleh:

x₁ = 8 – 2.2 – 1.3 = 1

Akhirnya diperoleh solusi x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3

Suatu matriks dikatakan bentuk eselon baris tereduksi apabila:

1. Jika satu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol maka bilangan tak nol pertama pada baris itu adalah 1. Bilangan 1 ini disebut 1 utama

2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol maka baris-baris ini akan dikelompokkan Bersama pada baris paling bawah dari matriks

3. Jika terdapat dua baris yang tidak seluruhnya terdiri dari nol maka maka 1 utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi

4. Setiap kolom yang memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat lain

Catatan: Matriks yang memiliki 3 sifat pertama disebut Bentuk Eselon Baris sedangkan yang memiliki 4 sifat di atas disebut Bentuk Eselon Baris Tereduksi.

Elemen taknol pertama dari setiap baris pada matrisk dinamakan elemen pivot. Suatu matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris jika memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:

1. Semua bilangan pada kolom di bawah elemen pivot adalah nol

2. Jika terdapat baris yang seluruhnya nol, maka semua baris seperti itu dikelompokkan bersama-sama di bagian bawah dari matriks

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear di atas dengan metode eliminasi Gauss, langkah –langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:

1. Menentukan matriks augmentasi

2. Melakukan OBE untuk memperoleh bentuk eselon baris 

3. Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan substitusi

Teorema:

Suatu sistem persamaan linear homogen dengan banyak faktor yang tidak diketahui lebih banyak dari banyaknya persamaan memiliki tak terhingga banyak solusi.

Mengapa demikian? karena suatu matriks dengan banyak kolom lebih dari banyak baris kurang cukup untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear dengan solusi berhingga.