Titik, Garis, Sudut, dan Bidang

A. Garis

Secara umum garis ada dua macam yaitu lurus dan melengkung. Ketika kita memikirkan sebuah garis lurus, kita membayangkan sebuah tali yang ditarik dengan erat sehingga menunjukkan “jarak” terpendek yang bisa kita bayangkan antara dua titik. Inilah inti dari kelurusan. Garis lengkung hanyalah garis yang tidak ada bagiannya yang lurus.

Garis lurus ada yang tegak (vertikal), ada yang mendatar (horisontal), ada juga yang miring (oblik). Hubungan antara garis-garis lurus diantaranya sejajar, yaitu garis lurus yang tidak akan mungkin berpotongan jika diperpanjang sepanjang-panjangnya. Juga garis lurus saling tegak lurus, yaitu garis lurus yang berpotongan membentuk sudut siku-siku (seperempat putaran).

Garis lurus dapat dianggap memanjang tanpa batas pada kedua arah. Jika kita berbicara tentang sebagian garis di antara dua titik tertentu yaitu, bagian yang dimulai di suatu tempat dan berakhir di suatu tempat kita menyebut bagian garis itu sebagai ruas garis, atau sekadar ruas garis. Dengan demikian, hanya sebuah segmen yang dapat memiliki panjang tertentu, meskipun kita biasanya menyebut "panjang sebuah garis" ketika tidak ada ambiguitas, yang berarti, tentu saja, panjang segmen tersebut.

Kita mungkin juga berfikir tentang "berlari sepanjang" suatu garis ke kiri atau ke kanan (atau ke atas dan ke bawah); garis seperti itu dikenal sebagai garis berarah. Jika kita mengabaikan semua titik pada salah satu sisi suatu titik tertentu dalam suatu garis berarah, kita berhadapan dengan sinar garis, atau setengah garis.

B. Hubungan Garis Lurus dengan Titik

Perhatikan gambar berikut:

(i) Setiap garis adalah himpunan titik-titik (𝑡 ∈ 𝐺, t adalah titik dan G adalah garis).

(ii) Untuk sebarang dua titik yang berbeda, terdapat tepat satu garis yang memuat dua titik tersebut.

(∀𝑎 ≠ 𝑏)(∃!𝐺) ∋ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, dengan a dan b sebarang dua titik berbeda dan G adalah garis.

(iii) Setiap garis memuat paling sedikit dua titik yang berbeda.

(∀𝐺)(∃𝑎 ≠ 𝑏) ∋ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, dengan G adalah garis, a dan b sebarang dua titik berbeda.

(iv) Untuk suatu garis tertentu, minimal ada satu titik yang tidak terletak pada garis tersebut.

(∃𝐺)(∃𝑡) ∋ 𝑡 ∉ 𝐺

Sebarang himpunan yang memuat paling sedikit dua titik yang merupakan himpunan bagian dari suatu garis disebut himpunan kolinier. Kolinier artinya segaris lurus.

Dalam himpunan kolinier berlaku relasi refleksif, simetrik, dan transitif untuk sebarang titik a, b, c:

(i) Refleksif: Setiap titik kolinier dengan dirinya sendiri.

(ii) Simetrik: Jika a kolinier dengan b maka b kolinier dengan a.

(iii) Transitif: Jika a kolinier dengan b dan b kolinier dengan c maka a kolinier dengan c.

Jadi, relasi kolinier merupakan relasi ekivalen. Kita mendapati bahwa suatu garis lurus merupakan kelas ekivalensi dari relasi kolinier.

C. Relasi Urutan Titik

Antara (between): Relasi teknik yg tidak didefinisikan. Suatu titik B yang terletak diantara A dan C  disajikan dengan (A, B, C). 

1. Berikut aksioma terkait relasi ini:

(a) Reverse: (A, B, C) ⇔ (C, B, A).

(b) Different: Jika (A, B, C) maka A, B, C berbeda dan kolinear.

(c) Exclusive: Jika A, B, C berbeda dan kolinier  maka dipenuhi tepat satu dari sifat berikut: (A, B, C) atau (B, C, A) atau (C, A, B).

2. Teorema terkait relasi urutan titik:

(a) Jika (A, B, C) dan (A, C, D)  maka A, B, C, dan D berbeda dan kolinier. 

Bukti:

(A, B, C) berarti A, B, C berbeda dan kolinear.

(A, C, D) berarti A, C, D berbeda dan kolinear.

Andaikan B = D, berarti (A, B, C) = (A, D, C). Hal ini kontradiksi dengan (A, C, D) karena jika D diantara A dan C, maka mustahil C diantara A dan D. Oleh karena itu B dan D berbeda, sehingga A, B, C, D berbeda.

A dan C terletak pada satu garis lurus, B dan D juga terletak pada garis tersebut, sehingga A, B, C, D kolinear.

∴ Jadi, A, B, C, D berbeda dan kolinear.

(b) Jika (A, B, C) dan (A, C, D) maka (A, B, C, D).

Bukti:

(A, B, C) berarti B diantara A dan C

(A, C, D) berarti C diantara A dan D

Oleh karena itu, dapat dipastikan urutannya adalah (A, B, C, D).

(c) Jika (A, B, C) dan (B, C, D) maka (A, B, C, D).

Bukti:

(A, B, C) berarti B diantara A dan C

(B, C, D) berarti C diantara B dan D

Oleh karena itu, dapat dipastikan urutannya adalah (A, B, C, D).

(d) Jika (A, B, D) dan (A, C, D) dan B ≠ C maka (A, B, C) atau (A, C, B).

Bukti:

(A, B, D) berarti B diantara A dan D

(A, C, D) berarti C diantara A dan D

Dari keduanya kita mendapati bahwa B dan C diantara A dan D. Hal ini ada 2 kemungkinan urutan, yaitu (A, B, C, D) atau (A, C, B, D). Dapat disederhanakan menjadi (A, B, C) atau (A, C, B).

(e) Jika (A, B, C) dan (A, B, D) dan C ≠ D maka (B, C, D) atau (B, D, C).

(A, B, C) berarti B diantara A dan C

(A, B, D) berarti B diantara A dan D

Dari keduanya kita mendapati bahwa C dan D terletak setelah B, sehingga ada 2 kemungkinan urutan, yaitu (A, B, C, D) atau (A, B, D, C). Dapat disederhanakan menjadi (B, C, D) atau (B, D, C).

(f) Jika (A, B, C) dan (A, B, D) dan C ≠ D maka (A, D, C) atau (A, C, D).

(A, B, C) berarti B diantara A dan C

(A, B, D) berarti B diantara A dan D

Dari keduanya kita mendapati bahwa C dan D terletak setelah B, sehingga ada 2 kemungkinan urutan, yaitu (A, B, D, C) atau (A, B, C, D). Dapat disederhanakan menjadi (A, D, C) atau (A, C, D).

3. Setengah Garis (Half Line)

(a) Definisi half line:

Misalkan titik O dan A dengan (O ≠ A) terletak pada garis g, didefinisikan half line sebagai berikut:

S₁: Himpunan semua titik pada garis g yang memuat X sedemikian sehingga (O, X, A) atau (O, A, X).

S₂: Himpunan semua titik pada garis g yang memuat X sedemikian sehingga (X, O, A).

S₁ dan S₂ disebut setengah garis (half line) dari garis g terhadap O.

(b) Definisi kesalingasingan:

Jika S₁ dan S₂ saling asing, berlaku:

Untuk sebarang titik A pada S₁ dan B pada S₂ terdapat suatu titik dalam S (S = S₁ ∪ S₂).

Untuk Sebarang dua elemen A dan B dalam himpunan yang sama tidak terdapat dari S yang terletak diantaranya, maka dikatakan S memisahkan S₁ dan S₂.

D. Segmen Garis

Ditentukan dua titik A dan B yang berbeda. Himpunan semua titik X sedemikian sehingga (A, X, B) disebut segmen garis AB.

Segmen AB dengan A dan B sebagai ujung. Segmen AB bersifat terbuka dan kontinu.
1. Beberapa ketentuan mengenai segmen AB:

(a) A dan B bukan elemen segmen AB.

ini merupakan sifat keterbukaan segmen garis.

(b) Segmen AB = segmen BA.

sebagaimana aksioma urutan titik, yaitu sifat reverse.

(c) Segmen AB adalah subset dari garis AB.

garis AB merupakan himpunan semua titik yang kolinear dengan A dan B, sedangkan segmen AB adalah subset garis AB dengan titik-titiknya diantara A dan B.

(d) Jika segmen AB = CD maka A = C dan B = D atau C = B dan A = D.

kesamaan segmen mengharuskan kesamaan ujungnya, baik itu forward ataupun reverse.

(e) Ditentukan segmen AB dan (A, P, B). Segmen AP dan PB adalah subset dari AB.

Diketahui (A, P, B) berarti P diantara A dan B. Misalkan X adalah sebarang titik pada AP. Karena A, P, B kolinier maka x terletak pada segmen AB. Karena setiap titik pada AP juga terletak pada segmen AB maka segmen AP subset dari segmen AB. Jika cara yang sama diterapkan untuk segmen PB, maka akan didapati segmen PB juga subset dari segmen AB.

2. Aksioma Pasch

Jika A, B, C adalah tiga titik yang berbeda dan tidak kolinier, g adalah sebarang garis yang tidak melalui A, B dan C, dan g  memuat satu titik pada segmen AC maka g juga memuat satu titik pada segmen BC atau AB.

Teorema terkait aksioma Pasch:

Jika A, B, C titik yang berbeda dan tidak kolinier, sebarang garis g yang memuat titik pada segmen AB dan AC pastilah tidak memuat titik pada segmen BC. Bukti:

Misalkan g garis yang memuat titik pada R pada AB dan Q pada AC,  (R dan Q beda dgn A, B dan C)

Andaikan g memuat titik pada BC misalkan P. Berarti g memuat titik pada AC, AB dan BC. Hal ini kontradiksi dengan aksioma, jika g memuat titik pada AC maka g memuat salah satu titik pada BC atau AB. Jadi g tidak memuat titik pada BC.

3. Himpunan Konveks

Himpunan S disebut himpunan konveks jika sebarang dua titik P dan Q anggota S maka segmen PQ terletak dalam S.

contoh: Setiap segmen garis adalah himpunan konveks

E. Sinar Garis
Sinar  adalah himpunan semua titik pada suatu garis yang terletak sepihak dengan O. Atau garis yang ditarik dari sebuah titik kearah titik lain. Contoh:

contoh lain:

Sinar AB dengan titik A disebut pangkal dan arah AB disebut arah sinar.

F. Sudut

Garis, ruas garis, sinar garis, masing-masing memiliki arah. Sudut adalah besaran perputaran (rotasi) antara kedua garis.

Misalkan suatu sinar garis OP merepresentasikan posisi awal suatu sinar garis, jika sinar OP diputar ke posisi OQ, maka besar perputaran ini disebut sebagai sudut. Titik tetap O dimana sinar diputar, disebut titik sudut. Kedua sinar OP dan OQ disebut kaki sudut. Suatu sudut mendeskripsikan posisi relatif dan arah kedua sinar. Suatu sudut dapat ditandai dengan:

(i) 3 huruf besar ∠POQ, dengan titik sudut dituliskan di tengah

(ii) Huruf kecil atau angka diletakkan di dalam sudut

(iii) Huruf besar diletakkan di luar sudut

(i) Sudut penuh (round angle) adalah sudut sebesar satu putaran penuh

(ii) Sudut refleks (reflex angle) adalah sudut yang kurang dari satu putaran penuh dan lebih dari setengah putaran

(iii) Sudut lurus (straight angle) adalah sudut sebesar setengah putaran

(iv) Sudut tumpul (obtuse angle) adalah sudut yang kurang dari setengah putaran dan lebih dari seperempat putaran

(v) Sudut siku-siku (right angle) adalah sudut sebesar seperempat putaran

(vi) Sudut lancip (acute angle) adalah sudut kurang dari seperempat putaran

Sudut penuh direpresentasikan dengan 360 derajat, sehingga didapati ukuran sudut lurus 180 derajat, dan ukuran sudut siku-siku 90 derajat.

Ukuran sudut dinyatakan dalam derajat (°), menit ('), detik (''). Dengan 1 putaran penuh 360 derajat, 1 derajat sama dengan 60 menit, dan 1 menit sama dengan 60 detik. Untuk mengukur sudut, kita dapat menggunakan busur derajat seperti pada gambar berikut:

Didapati bahwa ukuran ∠AOR = 65° dan ∠BOS = 42°, kita dapat menghitung besar sudut ROS dengan menggunakan besar sudut ∠AOB, ∠AOR dan ∠BOS. Dikarenakan ∠AOB lurus, maka besarnya 180°.

∠ROS = ∠AOB - ∠AOR - ∠BOS = 180° - 65° - 42° = 73°. Jadi, besar ∠ROS adalah 73°.

Hubungan antar sudut ada yang terhubung (adjacent), ada juga yang tidak terhubung. Sudut yang adjacent mempunyai titik sudut yang sama dan sebuah sisi yang berimpit yang terletak diantara dua sisi yang lain. Selain itu ada juga hubungan istimewa antar sudut:

(i) Komplemen (berpenyiku), yaitu sudut-sudut yang berjumlah 90 derajat

(ii) Suplemen (berpelurus), yaitu sudut-sudut yang berjumlah 180 derajat

Perhatikan gambar berikut:

∠a berpelurus dengan ∠x, selain itu ∠a juga berpelurus dengan ∠y, oleh karena itu ∠x sama besar dengan ∠y yang mana keduanya bertolak belakang. Jika cara yang sama diterapkan untuk ∠a dan ∠b yang juga bertolak belakang maka akan didapati keduanya sama besar. Sehingga diperoleh:

"Sudut yang bertolak belakang besarnya sama".

G. Bidang

Bidang tidak didefinisikan. Bidang ada yang datar dan ada yang lengkung. Contoh:

v merupakan bidang datar dan w merupakan bidang lengkung.

Aksioma:

Melalui tiga titik yang berbeda dapat dibuat satu bidang datar.

Jika ada 2 titik yang berbeda dan terletak pada bidang datar maka garis yang melalui dua titik tersebut  terletak pada bidang

H. Kedudukan Dua Garis

1. Dua garis berpotongan

Dua garis dikatakan berpotongan jika dan hanya jika mempunyai satu titik persekutuan.

2. Dua garis sejajar

Dua garis dikatakan saling sejajar jika dan hanya jika kedua garis tersebut tidak memiliki titik persekutuan.

3. Dua garis bersilangan

Dua garis dikatakan bersilangan jika dan hanya jika tidak terletak pada bidang yang sama.

I. Dua Garis Sejajar Dipotong Oleh Garis Lain

Perhatikan gambar berikut:

garis g dan l keduanya sejajar, dan dipotong oleh garis n.

1. Sehadap

∠P1 = ∠Q1

∠P2 = ∠Q2

∠P3 = ∠Q3

∠P4 = ∠Q4

Sudut sehadap sama besar karena seolah-olah menggeser letak sudut secara utuh.

2. Dalam Berseberangan

∠P3 = ∠Q1

∠P4 = ∠Q2

3. Luar Berseberangan

∠P1 = ∠Q3

∠P2 = ∠Q4

Sudut berseberangan sama besar karena seolah-olah menggeser letak sudut bertolak belakang secara utuh.

4. Dalam Sepihak

∠P3 + ∠Q2 = 180°

∠P4 + ∠Q1 = 180°

5. Luar Sepihak

∠P1 + ∠Q4 = 180°

∠P2 + ∠Q3 = 180°

Contoh soal dan pembahasan

1. Tentukan nilai x:

dengan menggunakan garis sejajar:

Jadi, x = 135°

2. Buktikan bahwa jika (A, B, C, D) dan |AB| = |CD| maka |AC| = |BD|

(A, B, C, D) berarti A, B, C, D kolinier, B diantara A dan C, C diantara B dan D

(A, B, C) berarti |AB| + |BC| = |AC|

(B, C, D) berarti |BC| + |CD| = |BD|

|AC| = |AB| + |BC|, substitusikan |AB| = |CD|

|AC| = |CD| + |BC|

|AC| = |BD| Terbukti