Geometri Demonstrasi dan Geometri Aksiomatik
A. Pengertian Geometri
Pengertian geometri secara bahasa: Geometri berasal dari bahasa Yunani “γεωμετρία (geōmetría)”, "γῆος (gêos)" artinya bumi atau tanah dan "μέτρον (métron)" artinya ukuran. Geometri di Indonesia diterjemahkan Ilmu Ukur.
Pengertian geometri secara istilah : Geometri adalah cabang matematika yang mempelajari titik, garis, bidang dan benda-benda ruang beserta sifat, ukuran dan hubungannya dengan yang lain.
Objek dalam geometri adalah benda pikir yang berasal dari benda nyata yang diabstraksikan (tidak diperhatikan warna, bau, suhu dan sifat-sifat yang lain) dan di idialisasikan (dianggap sempurna).
B. Sistem Aksiomatik dalam Geometri
Sistem aksiomatik dalam geometri merujuk pada pendekatan formal dalam matematika yang digunakan untuk mendefinisikan dan memahami konsep geometri. Dalam sistem aksiomatik, geometri dibangun berdasarkan sejumlah aksioma atau postulat dasar yang diambil sebagai asumsi dasar. Aksioma-aksioma ini digunakan sebagai landasan untuk mengembangkan teorema-teorema dalam geometri.
Beberapa ciri khas sistem aksiomatik dalam geometri meliputi:
1. Aksioma: Aksioma-aksioma adalah pernyataan dasar yang diterima tanpa bukti. Mereka berfungsi sebagai aturan dasar yang tidak boleh diubah dan menjadi landasan bagi pengembangan teorema-teorema geometri.
2. Deduktif: Sistem aksiomatik menggunakan penalaran deduktif, yang berarti teorema-teorema baru dihasilkan dari aksioma-aksioma dan teorema-teorema sebelumnya melalui langkah-langkah logis.
3. Konsistensi: Sistem aksiomatik harus konsisten, yang berarti tidak boleh ada kontradiksi antara aksioma-aksioma atau teorema-teorema yang dihasilkan dari aksioma-aksioma tersebut.
4. Kesempurnaan: Sistem aksiomatik harus cukup kuat untuk menggambarkan semua aspek geometri yang ingin diteliti.
5. Kesederhanaan: Aksioma-aksioma dalam sistem aksiomatik harus cukup sederhana dan sedikit mungkin untuk meminimalkan asumsi dasar.
Sejarah sistem aksiomatik dalam geometri terkenal melibatkan karya Euklides, yang menulis buku "Elemen" pada abad ke-3 SM. "Elemen" adalah salah satu karya geometri yang paling terkenal dan mengikuti pendekatan aksiomatik dengan merumuskan aksioma-aksioma dasar geometri, seperti aksioma-aksioma tentang garis lurus, sudut, dan sebagainya. Selain itu, karya matematikawan seperti Hilbert juga berkontribusi dalam pengembangan sistem aksiomatik yang lebih modern dalam geometri. Dengan menggunakan sistem aksiomatik, matematikawan dapat memahami geometri secara lebih sistematis dan membangun fondasi matematis yang kuat untuk bidang tersebut.
C. Undefined Terms
"Undefined terms" merujuk kepada istilah-istilah dalam suatu sistem aksiomatik atau formalisme matematika yang tidak didefinisikan secara eksplisit. Istilah-istilah ini dianggap sebagai konsep dasar atau primitif yang tidak dapat diuraikan lebih lanjut dalam konteks sistem tersebut. Sebagai contoh, dalam geometri, terdapat beberapa "undefined terms" atau istilah yang tidak didefinisikan secara eksplisit:
1. Titik (Point): Titik dianggap sebagai entitas matematika yang tidak memiliki dimensi, yang artinya tidak memiliki panjang, lebar, atau ketebalan. Titik menentukan posisi, hanya perlu direpresentasikan dalam bentuk noktah, titik yang satu dengan lainnya dibedakan oleh label yang diberikan. Dalam konteks geometri, titik digunakan sebagai konsep dasar yang tidak diuraikan lebih lanjut.
2. Garis (Line): Garis adalah entitas matematika yang dianggap sebagai himpunan tak terbatas titik yang membentang tanpa batas, baik ke kiri maupun ke kanan. Garis memiliki panjang tetapi tidak memiliki lebar dan ketebalan, dapat terbentuk dari pergeseran posisi titik. Seperti halnya titik, garis adalah konsep dasar dalam geometri.
3. Garis lurus juga tidak dapat didefinisikan. Untuk memudahkan, kita mengatakan bahwa garis lurus adalah jarak terpendek antara dua titik, atau garis lurus adalah potongan yang terbentuk ketika dua permukaan bidang datar berpotongan.
4. Titik Pertemuan (Intersection): Titik pertemuan merujuk pada tempat di mana dua garis atau lebih bersilangan atau bertemu. Konsep ini juga termasuk dalam "undefined terms" dalam konteks geometri.
5. Bidang memiliki dimensi panjang dan lebar. Garis lurus yang terbentuk dari sebarang dua titik dapat direpresentasikan pada permukaan bidang. Geometri bidang datar merupakan bidang ilmu yang mempelajari bangun-bangun geometri yang dapat direpresentasikan pada permukaan bidang.
Dalam sistem aksiomatik, "undefined terms" adalah dasar dari sistem tersebut dan dianggap sebagai konsep yang tidak perlu atau tidak mungkin diuraikan lebih lanjut. Mereka bersama-sama dengan aksioma-aksioma yang diberikan, digunakan untuk membangun seluruh kerangka matematika atau geometri. Dengan kata lain, "undefined terms" adalah konsep dasar yang menjadi dasar dari konstruksi teorema-teorema dan hasil-hasil matematika dalam sistem tertentu.
D. Metode Demonstrasi pada Geometri Formal
Dalam konteks geometri formal, metode demonstrasi merujuk pada proses pembuktian dan deduksi yang digunakan untuk mengonfirmasi kebenaran pernyataan geometri. Metode demonstrasi merupakan bagian integral dari sistem aksiomatik dalam geometri formal dan digunakan untuk membuktikan teorema-teorema atau pernyataan geometri dengan menggunakan aksioma-aksioma yang telah diakui sebagai benar.
Proses metode demonstrasi dalam geometri formal melibatkan langkah-langkah berikut:
1. Pernyataan (Statement): Sebuah teorema atau pernyataan geometri yang ingin dibuktikan diungkapkan dengan jelas.
2. Pemahaman (Understanding): Matematikawan harus memahami dengan baik pernyataan tersebut, termasuk definisi-definisi yang terlibat dan hubungannya dengan konsep-konsep lain dalam geometri.
3. Pembuktian (Proof): Metode demonstrasi melibatkan pembuktian matematis yang rasional dan logis untuk menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar berdasarkan aksioma-aksioma dan teorema-teorema yang telah diterima sebelumnya. Bukti harus memadai dan konsisten.
4. Langkah-langkah Deduktif (Deductive Steps): Bukti geometri formal melibatkan langkah-langkah deduktif yang menghubungkan pernyataan awal dengan aksioma, definisi, dan teorema-teorema yang sudah ada. Setiap langkah harus dijustifikasi secara matematis.
5. Penarikan Kesimpulan (Conclusion): Setelah pembuktian selesai, kesimpulan dibuat untuk menyatakan bahwa pernyataan atau teorema tersebut telah dibuktikan dengan benar.
6. Pentingnya Konsistensi (Consistency): Pembuktian harus konsisten dengan aksioma-aksioma dan aturan-aturan geometri yang diterima dalam sistem tersebut. Tidak boleh ada kontradiksi dalam bukti.
Metode demonstrasi adalah dasar dari pendekatan aksiomatik dalam geometri formal. Dalam geometri Euclidean, misalnya, teorema-teorema seperti Teorema Pythagoras dan Teorema Kebenaran Dalam Segitiga adalah hasil dari metode demonstrasi yang cermat. Metode ini memastikan bahwa pernyataan geometri didasarkan pada argumen matematis yang kuat dan memenuhi standar pembuktian matematis yang ketat.
Metode demonstrasi menurut Schaaf W.L. adalah sebagai berikut:
1. Pengamatan vs Logika
Dengan melihat gambar, ataupun berdasarkan pengukuran, jika kita melihat dua garis yang tampak sejajar, kita akan mengatakan keduanya sejajar. Begitu juga jika kita melihat dua sudut yang tampak sama besar, kita akan mengatakan keduanya sama besar.
Pengukuran juga tidak dapat diandalkan, seakurat apapun suatu pengukuran selalu merupakan perkiraan (dengan kata lain, pengukuran tidak bisa lepas dari kesalahan). Hal ini tidak dapat dihindari dikarenakan sifat dari pengukuran. Sebagaimana setiap alat ukur memiliki keterbatasan ketelitian, misalnya penggaris dengan ketelitian 1 milimeter (1000 mikrometer), jangka sorong dengan ketelitian 100 mikrometer, mikrometer sekrup dengan ketelitian 10 mikrometer. Sebagus apapun kita menggambar, jika diperbesar dengan mikroskop kita akan selalu menemukan ketidaktepatan.
Di dalam geometri demonstrasi, kita tidak menggunakan pengamatan maupun pengukuran sebagai dasar untuk menerima pernyataan, melainkan kita menggunakan penalaran logis.
2. Penalaran Deduktif
Penalaran formal seperti ini dikenal sebagai penyimpulan logis atau pembuktian. Secara umum, membuktikan suatu pernyataan berarti meyakinkan diri kita akan kelayakan dan keabsahan pernyataan tersebut. Pembuktian berkaitan dengan dengan penalaran yang cermat dan logis, yang bila dilakukan secara sistematis disebut demonstrasi. Singkatnya, membuktikan sesuatu dalam geometri berarti mendemonstrasikannya dengan langkah-langkah logis, menggunakan prosedur standar yang dijelaskan.
3. Kebenaran Geometris
Kita akan mengetahui bahwa sifat-sifat bangun geometri dan hubungan diantaranya pada kenyataannya adalah pernyataan tentatif ataupun pernyataan bersyarat. Kita memang tidak bisa mengatakan apapun tentang kebenaran absolut, namun hal ini tidak mengurangi kegunaan hubungan geometri apapun yang akan kita peroleh.
4. Mulai dari Awal
Setiap kali kita membahas suatu pernyataan geometri untuk dibuktikan, kita merujuk pada pernyataan-pernyataan yang telah dibuktikan sebelumnya sebagai petunjuk. Dalam proses perujukan ini, terdapat beberapa pernyataan yang tetap tidak terbukti, akan tetapi harus tetap diterima. Memang tidaklah mungkin untuk membuktikan setiap pernyataan. Memang ada pernyataan-pernyataan yang diterima begitu saja tanpa dibuktikan yang disebut asumsi. Asumsi yang bersifat umum disebut aksioma, sedangkan asumsi yang bersifat khusus disebut postulat. Oleh karena itu, dalam penalaran logis terdapat dua perhatian yang begitu penting, yaitu makna istilah yang digunakan dan asmumsi dasar yang dibuat.
E. Tujuan Utama Geometri Formal
Geometri formal memiliki tujuan utama untuk mendemonstrasikan berbagai proposisi dan menunjukkan bagaimana proposisi tersebut mengikuti secara logis istilah-istilah yang tidak terdefinisi, asumsi, dan definisi yang diadopsi sejak awal. Tujuan ini dicapai melalui pengembangan sistem postulasi, di mana kumpulan proposisi turun dari asumsi-asumsi awal (postulat) dan istilah-istilah dasar, baik yang tidak terdefinisi maupun yang terdefinisi. Geometri itu sendiri merupakan salah satu contoh sistem postulat, dengan penalaran yang terlibat disebut pemikiran postulasional, dan argumen yang mendasari setiap proposisi dikenal dengan istilah demonstrasi.
Kita tidak lagi bergantung pada observasi atau pengukuran untuk menemukan atau membangun hubungan geometris. Kita menggunakan penalaran logis sebagai gantinya. Kita mulai dengan yang berikut:
- Beberapa istilah yang tidak terdefinisi, seperti titik, garis lurus, permukaan, dan sudut;
- Pernyataan yang tidak dibuktikan yang disebut asumsi; dan
- Sejumlah definisi.
Semua hubungan geometri (termasuk asumsi dan definisi) dapat diekspresikan sebagai proposisi, yaitu dalam bentuk: "Jika P benar, maka Q benar." Asumsi dan definisi tidak memerlukan bukti. Semua proposisi lain dibuktikan, atau didemonstrasikan, dengan penalaran yang cermat dan dengan merujuk pada asumsi dan definisi, dan proposisi yang telah dibuktikan sebelumnya.
Setiap proposisi terdiri dari dua bagian: hipotesis dan kesimpulan. Hipotesis adalah klausa "jika", atau anggapan; kesimpulan adalah klausa "maka", atau deduksi. Jika hipotesis diubah, kesimpulan mungkin atau mungkin tidak harus diubah; dalam hal apa pun, kita kemudian berhadapan dengan proposisi yang berbeda.
F. Bentuk Baku Pembuktian Proposisi Geometri
Bentuk baku pembuktian proposisi dalam geometri terdiri dari empat bagian:
1. Pernyataan Proposisi yang Jelas
Bagian ini menyatakan proposisi yang ingin dibuktikan dengan jelas, sebaiknya dalam bentuk "jika-maka".
2. Pernyataan Hipotesis
Bagian ini menyatakan hipotesis atau sifat-sifat geometri yang diberikan.
3. Pernyataan Kesimpulan
Bagian ini menyatakan kesimpulan atau apa yang ingin dibuktikan.
4. Bukti
Bagian ini berisi langkah-langkah pembuktian yang umumnya disusun dalam dua kolom. Kolom pertama berisi langkah-langkah atau pernyataan dalam argumen, dan kolom kedua berisi alasan yang sesuai untuk setiap langkah di kolom pertama.
Catatan Penting:
Setiap langkah dan pernyataan dalam pembuktian harus memiliki alasan yang sah, dapat berupa:
a. Referensi definisi
b. Asumsi
c. Proposisi yang telah dibuktikan sebelumnya
d. Pernyataan dalam hipotesis
e. Garis yang digambar di awal pembuktian
Komentar
Posting Komentar