Lingkaran Dalam Segitiga dan Titik Bagi

Perhatikan gambar berikut:

Diberikan sebuah lingkaran berpusat di O, segmen garis OG, OH, OI merupakan jari-jari. Telah kita ketahui bahwa panjang garis singgung lingkaran dari suatu titik diluar lingkaran adalah sama, pada gambar diatas berlaku AH = AI, BI = BG, CG = CH. 

Oleh karena itu, AI + BI + CG = AH + BG + CH = ½(AB + BC + AC) = s

AB + CG = AC + BG = s

sehingga AH = AI = s - a, BI = BG = s - b, CG = CH = s - c

Selain itu, dengan menarik garis dari pusat lingkaran menuju titik luar tersebut akan membagi sudut garis singgung menjadi 2 bagian sama besar. Pada gambar diatas berlaku:

∠AOB = 180° - ½(∠A + ∠B) = ∠A + ∠B + ∠C - ½∠A - ½∠B = ½∠A + ½∠B + C

∠AOB = (½∠A + ½∠B + ½∠C) + ½∠C = 90° + ½∠C

Oleh karena itu pusat lingkaran merupakan titik potong ketiga garis bagi segitiga garis singgung.

Dikarenakan segitiga tidak memiliki kebebasan, dapat dipastikan setiap segitiga memiliki lingkaran dalam yang berpusat pada titik potong (disebut titik bagi) ketiga garis bagi nya. Jari-jari lingkaran dalam segitiga yang melalui sisi-sisi segitiga tegak lurus dengan sisi tersebut.

Perhatikan segitiga AOB, BOC, dan COA

[ABC] = [AOB] + [BOC] + [COA]

[ABC] = ½.|AB|.|OI| + ½.|BC|.|OG| + ½.|AC|.|OH

[ABC] = ½.c.r + ½.a.r + ½.b.r

[ABC] = ½.(a + b + c).r

[ABC] = s.r

[ABC] adalah luas segitiga ABC, s adalah setengah keliling segitiga ABC, r adalah jari-jari lingkaran dalam.

Jadi, luas segitiga sama dengan hasil kali setengah kelilingnya dengan jari-jari lingkaran dalam. Dengan kata lain, jari-jari lingkaran dalam sama dengan luas segitiga dibagi setengah keliling.