Lingkaran-Lingkaran yang Bersinggungan dan Berpotongan

1. Lingkaran kecil bersinggungan dengan 2 lingkaran besar berukuran sama

Perhatikan gambar berikut:

Diberikan 2 lingkaran berukuran sama, keduanya bersinggungan. Dari dasar masing-masing lingkaran ditarik garis, terdapat lingkaran kecil bersinggungan dengan kedua lingkaran besar dan juga garis tersebut.

Jari-jari lingkaran kecil dapat dicari dengan membuat segitiga siku-siku. 

Jari-jari lingkaran besar melalui titik singgung kedua lingkaran besar tegak lurus dengan jari-jari yang melalui dasar lingkaran. Jari-jari tersebut dapat digeser ke bawah sehingga menghubungkan pusat lingkaran kecil dengan jari-jari lingkaran besar yang melalui dasar lingkaran, oleh karena itu panjangnya sama dengan panjang jari-jari lingkaran besar. 

Sisi segitiga siku-siku yang tegak lurus dengannya memiliki panjang selisih jari-jari lingkaran besar dengan jari-jari lingkaran kecil.

Sedangkan sisi miring segitiga siku-siku tersebut sama dengan jumlah jari-jari lingkaran besar dengan lingkaran kecil. Dengan menggunakan rumus Pythagoras diperoleh persamaan:

(R + r)² = R² + (R – r)²

R² + r² + 2.R.r = R² + R² + r² – 2.R.r

2.R.r = R² – 2.R.r

2.R.r = R(R – 2.r)

2.r = R – 2.r

4.r = R

r = ¼.R

Jadi, jari-jari lingkaran kecil sama dengan seperempat jari-jari lingkaran besar.

2. Lingkaran kecil bersinggungan dengan 2 lingkaran berbeda ukuran

Perhatikan gambar berikut:

Diberikan 2 lingkaran berbeda ukuran, keduanya bersinggungan. Dari dasar masing-masing lingkaran ditarik garis, terdapat lingkaran kecil bersinggungan dengan kedua lingkaran itu dan juga garis tersebut.

Digambarkan lingkaran besar berpusat di D, lingkaran sedang berpusat di F, dan lingkaran kecil berpusat di E. Ditarik jari-jari dari masing-masing pusat lingkaran menuju garis singgung bersama, terbentuk segmen AD, BE, dan CF.

Misalkan jari-jari lingkaran besar R, jari-jari lingkaran sedang r, jari-jari lingkaran kecil ρ.

Terdapat titik G pada jari-jari AD dan titik H pada jari-jari CF sedemikian hingga terbentuk segitiga siku-siku DGE dan FHE. Juga titik I pada jari-jari AD sehingga terbentuk segitiga siku-siku FID.

Perhatikan segitiga DGE siku-siku di G, |DG| = R - ρ, |DE| = R + ρ, dengan rumus Pythagoras:

GE² = DE² – DG²

GE² = (R + ρ)² – (R – ρ)²

GE² = (R + ρ + R – ρ).(R + ρ – R + ρ)

GE² = 2R.2ρ

GE² = 4.R.ρ

|AB| = |GE|, sehingga AB² = GE² = 4.R.ρ

Jika cara yang sama diterapkan pada segitiga FHE dan FID, akan diperoleh:

BC² = HE² = 4.r.ρ, juga AC² = FI² = 4.R.r

Selanjutnya ρ dapat dicari dengan:

3. Lingkaran kecil bersinggungan dengan 2 lingkaran sedang berukuran sama dalam lingkaran besar

Perhatikan gambar berikut:

Di dalam lingkaran besar terdapat 2 lingkaran sedang berukuran sama, dan ada lingkaran kecil menyinggung kedua lingkaran sedang dan lingkaran besar.

Misalkan jari-jari lingkaran sedang adalah R, jelas bahwa jari-jari lingkaran besar adalah 2R. Misalkan juga jari-jari lingkaran kecil adalah r. Terdapat segitiga siku-siku dengan panjang sisi:

Sisi mendatar memiliki panjang R, yaitu jari-jari lingkaran sedang.

Sisi tegak memiliki panjang 2R - r, yaitu jari-jari lingkaran besar yang 2 kali lingkaran sedang, dikurangi jari-jari lingkaran kecil.

Sisi miringnya memiliki panjang R + r, yaitu jumlah jari-jari lingkaran sedang dan lingkaran kecil, karena menghubungkan pusat keduanya melalui titik singgung.

Dengan rumus Pythagoras diperoleh:

(R + r)² = R² + (2R – r)²

R² + r² + 2.R.r = R² + 4.R² + r² – 4.R.r

2.R.r = 4.R² – 4.R.r

2R.r = 2R(2R – 2r)

r = 2.R – 2.r

r + 2r = 2.R

3r = 2.R

r = ⅔.R

Jadi, jari-jari lingkaran kecil sama dengan duapertiga jari-jari lingkaran sedang.

4. Lingkaran yang berpotongan

Diketahui dua lingkaran masing-masing berpusat di P dan C. Kedua ligkaran tersebut berpotongan di A, dan perpanjangan PA memotong lingkaran yang pusatnya C di B. Jika PA = 3 cm, BC = 4 cm dan PC = 6 cm, maka AB = … cm

Diketahui BC = 4 cm yang merupakan jari-jari lingkaran, hal ini berakibat AC juga 4 cm karena juga merupakan jari-jari lingkaran. Dengan menggunakan teorema Stewart:

AC².PB = PC².AB + BC².PA – PA.AB.PB

4².(3 + AB) = 6².AB + 4².3 – 3.AB.(3 + AB)

48 + 16.AB = 36.AB + 48 – 9.AB – 3.AB²

16.AB = 27.AB – 3.AB²

16.AB = AB(27 – 3.AB)

16 = 27 – 3.AB

3.AB = 27 – 16

3.AB = 11

AB = 11/3