Lingkaran Luar Segitiga dan Titik Sumbu

1. Titik Potong Ketiga Garis Sumbu Segitiga (Titik Sumbu)

Perhatikan gambar berikut:

Diberikan sebuah lingkaran berpusat di O dengan AB, BC, AC merupakan tali busur, dan OD, OE, OF merupakan apotema. Telah kita ketahui bahwa apotema tegak lurus dengan tali busur dan membagi tali busur menjadi 2 bagian sama panjang.

Garis sumbu segitiga melalui titik tengah sisi segitiga dan tegak lurus dengannya. Oleh karena itu, titik potong ketiga garis sumbu segitiga adalah titik yang sama dengan pusat lingkaran luar. Dikarenakan sifat tidak bebas segitiga, dapat dipastikan semua segitiga memiliki lingkaran luar. 

Jadi, ketiga garis sumbu segitiga berpotongan pada satu titik yang disebut titik sumbu, dan titik tersebut merupakan pusat dari lingkaran luarnya.

2. Segitiga Siku-Siku

Diberikan lingkaran berpusat di O. AB merupakan diameter lingkaran, sehingga ∠AOB = 180°(sudut lurus). ∠ACB merupakan sudut keliling, sehingga besarnya setengah sudut pusat, yaitu 90° (sudut siku-siku). Inilah kasus istimewa pada segitiga siku-siku, yaitu bahwa sisi miring segitiga siku-siku adalah segmen garis yang sama dengan diameter lingkaran luar. Titik pusat lingkaran luar segitiga siku-siku adalah pertengahan sisi miringnya. Jarak dari pertengahan sisi miring segitiga siku-siku ke setiap titik sudut siku-siku adalah sama karena merupakan jari-jari lingkaran luar.

Titik pusat lingkaran luar segitiga lancip terletak di dalam segitiga dan titik pusat lingkaran luar segitiga tumpul terletak di luar segitiga.

3. Jari-jari Lingkaran Luar Segitiga

Perhatikan gambar berikut:

Perhatikan segitiga ADC dan EBC

(i) ∠ACD siku-siku karena sudut keliling yang menghadap diameter AD, ∠BEC juga siku-siku yang mana merupakan sudut antara sisi AB dan garis tinggi CE (pada segitiga ABC). Oleh karena itu ∠ACD = ∠BEC

(ii) ∠ADC = ∠ABC karena sudut keliling yang menghadap busur yang sama

(iii) Jelas bahwa ∠CAD = ∠BCE karena sisa sudut

Jadi, segitiga ADC dan EBC sebangun, dari kesebangunannya diperoleh perbandingan:

AD/BC = AC/CE, dengan kata lain AD.CE = AC.BC

Pandang perbandingan AD.CE = AC.BC

AD merupakan diameter lingkaran, misalkan jari-jarinya R, |AD| = 2.R

CE merupakan garis tinggi segitiga ABC melalui sisi AB, diperoleh [ABC] = ½.AB.CE, dengan kata lain CE = [ABC] / (½.AB) = 2[ABC]/AB, misalkan |AB| = c, |CE| = 2.[ABC] / c

AC dan BC merupakan sisi segitiga ABC, misalkan |AC| = b dan |BC| = a, perbandingannya menjadi:

AD.CE = AC.BC

2R . 2[ABC] / c = b . a

4R = a . b. c / [ABC]

∴ R = a . b . c / 4[ABC]

Jadi, jari-jari lingkaran luar segitiga sama dengan hasil kali ketiga sisinya dibagi 4 luasnya.

Contoh soal dan pembahasan

Diberikan segitiga PQR dengan PQ = 4cm, QR = 5cm, dan jari-jari lingkaran luarnya 3cm, tentukan PR dan luas segitiga PQR!

(i) Tentukan titik pusat lingkaran luar, buat lingkaran luar, lalu tentukan titik S sedemikian hingga QS merupakan diameter lingkaran luar segitiga PQR.

(ii) Hubungkan P dan R dengan S, didapati sudut QPS dan QRS siku-siku. Panjang PS dan RS dapat dicari menggunakan rumus Pythagoras:

(iii) Panjang PR dapat dicari menggunakan rumus diagonal segiempat tali busur:

(iv) Luas segitiga PQR dapat dicari menggunakan rumus jari-jari lingkaran luar: