Lingkaran Singgung Segitiga

Lingkaran singgung suatu segitiga ialah lingkaran yang menyinggung pada sisi segitiga itu dan pada perpanjangan kedua sisi yang lain. Contoh:

Digambarkan suatu lingkaran singgung dari sisi AC, menyinggung sisi AC di E, menyinggung perpanjangan sisi AB di F, dan menyinggung perpanjangan sisi BC di D.

1. Pusat Lingkaran Singgung Segitiga

Perhatikan gambar berikut:

Lingkaran singgung segitiga berpusat pada titik potong garis bagi sudut yang berhadapan dengannya dan kedua garis bagi luar pada sudut lainnya. Kita mendapati bahwa:

∠OAC = ½(180° - ∠A) = 90° - ½∠A = ½(∠B + ∠C)

∠OCA = ½(180° - ∠C) = 90° - ½∠C = ½(∠A + ∠B)

Sehingga ∠AOC = 180° - ½(∠B + ∠C) - ½(∠A + ∠B)

∠AOC = 180° - ½(∠A + ∠B + ∠B + ∠C) = 180° - ½(180° + ∠B) = 90° - ½∠B = ½(∠A + ∠C)

Oleh karena itu misalkan lingkaran tersebut menyinggung AC di E, menyinggung perpanjangan AB di F, dan menyinggung perpanjangan BC di D berlaku:

|AF| = |AE|, |CE| = |CD|, |BF| = |BD|, sehingga juga berlaku |AC| = |AF| + |CD|

|BF| = |BA| + |AF|, |BD| = |BC| + |CD|, sehingga |BF| + |BD| = |AB| + |BC| + |AF| + |CD| = |AB| + |BC| + |AC| = Keliling ABC

Dan dikarenakan |BF| = |BD|, berlaku |BF| = |BD| = s

Kita juga mendapati bahwa |AF| = |BF| - |AB| = s - c, juga |CD| = s - a

2. Jari-Jari Lingkaran Singgung Segitiga

Misalkan |AB| = c, |BC| = a, |AC| = b:

[ABO] = ½.|AB|.|OF| = ½.c.r

[BCO] = ½.|BC|.|OD| = ½.a.r

[ABCO] = [ABO] + [BCO] = ½.c.r + ½.a.r

[ACO] = ½.|AC|.|OE| = ½.b.r

[ABC] = [ABCO] - [ACO] = ½.c.r + ½.a.r - ½.b.r = ½.r.(a + c - b)

Misalkan s = ½.(a + b + c), kalikan 2 menjadi 2s = a + b + c, misalkan juga luas [ABC] = L

½.r.(a + c - b) = L

½.r.(a + b + c - 2b) = L

½.r.(2s - 2b) = L

r.(s - b) = L

∴ r = L/(s - b)

Jadi, jari-jari lingkaran singgung segitiga sama dengan luas segitiga dibagi selisih dari setengah keliling dan sisi yang menyinggungnya.