Segiempat Tali Busur
Segiempat tali busur adalah segiempat yang keempat titik sudutnya terletak pada lingkaran.
1. Sifat-Sifat Segiempat Tali Busur
Perhatikan gambar berikut:
Diberikan lingkaran dengan 4 titik padanya A, B, C, D. Titik O merupakan pusat lingkaran. Selanjutnya perhatikan ∠AOC:
Satu putaran penuh adalah dari A kembali ke A, oleh karena itu jumlah ∠AOC melalui B dan ∠AOC melalui D adalah satu putaran penuh (360°).
Besar ∠ABC sama dengan setengah ∠AOC melalui B, sedangkan besar ∠ADC sama dengan setengah ∠AOC melalui D. Oleh karena itu jumlah ∠ABC dan ∠ADC sama dengan setengah putaran. Jika cara yang sama diterapkan pada ∠BAD dan ∠BDC akan didapati hal yang sama.
Ditulis ∠ABC + ∠ADC = 180° dan ∠BAD + ∠BDC = 180°
Jadi, jumlah sudut yang berhadapan pada segiempat tali busur sama dengan 180°, akibatnya sudut luar sebuah sudut pada segiempat tali busur sama dengan sudut dalam berhadapan.
Perhatikan gambar berikut:
Diberikan ABCD segiempat tali busur. ∠BAC = ∠BDC karena sudut keliling yang menghadap busur yang sama, ∠ADB = ∠ACB karena sudut keliling yang menghadap busur yang sama. Terdapat titik K pada tali busur AC sedemikian hingga ∠ABK = ∠CBD.
Dikarenakan ∠BAK = ∠BDC dan ∠ABK = ∠CBD, akibatnya adalah ∠AKB = ∠BCD. Oleh karena itu △ABK ~ △DBC, diperoleh perbandingan AK/AB = CD/BD, dengan kata lain AK.BD = AB.CD
Pada △ABD dan △KBC, dikarenakan ∠ADB = ∠KCB karena sudut keliling yang menghadap busur yang sama, ∠ABD = ∠CBK (karena ∠ABK = ∠CBD dan keduanya sama-sama ditambah ∠KBD), dan ∠BAD = ∠BKC karena sisa sudut. Oleh karena itu △ABD ~ △KBC, diperoleh perbandingan CK/BC = AD/BD, dengan kata lain CK.BD = BC.AD
Dengan menjumlahkan kedua perbandingan diperoleh:
AK.BD + CK.BD = AB.CD + BC.AD, faktorkan menjadi:
(AK + CK).BD = AB.CD + BC.AD
AC.BD = AB.CD + BC.AD
Jadi, hasil kali kedua diagonal segiempat tali busur sama dengan jumlah hasil kali sisi-sisi yang berhadapan.
Dari uraian diatas, berikut ini sifat-sifat segiempat tali busur:
a. Jumlah sudut yang berhadapan sama dengan 180°
b. Hasil kali kedua diagonal sama dengan jumlah hasil kali sisi yang berhadapan. Sifat ini juga disebut sebagai Teorema Ptolomeus.
2. Mengidentifikasi Segiempat Tali Busur
A. Jika dua buah sudut yang berhadapan pada suatu segiempat berpelurus sesamanya maka segiempat itu merupakan segiempat tali busur.
Bukti:
Diketahui segiempat ABCD dengan ∠B berpelurus dengan ∠D. Kemanapun titik D digeser, selama masih pada busur yang berhadapan dengan busur ABC, besar ∠D akan selalu sama karena merupakan sudut keliling yang menghadap busur yang sama.
∠ADC = ∠AD'C = 180° - ∠ABC. Andaikan titik D digeser bukan pada busur semula, besar sudutnya akan berubah, mengapa demikian?
Karena seandainya digeser ke dalam, sudutnya akan membesar, karena mendekati sudut pusat, sebagaimana telah kita ketahui bahwa besar sudut keliling setengah sudut pusat.
Dan seandainya digeser ke luar, sudutnya akan mengecil, hal ini merupakan konsekuensi terbalik dari pergeseran ke arah dalam.
Oleh karena itu, agar sudut ADC tidak berubah diharuskan tetap pada busurnya.
Jadi, ABCD merupakan segiempat tali busur.
B. Segiempat yang bisa dipastikan merupakan segiempat tali busur
Ada beberapa bentuk segiempat yang pasti merupakan segiempat tali busur:
- Persegi dan Persegi Panjang
Semua sudut persegi dan persegi panjang merupakan sudut siku-siku (90°), oleh karena itu dapat dipastikan sudut yang berhadapan berjumlah 180°, sehingga merupakan segiempat tali busur.
- Trapesium Samakaki
Misalkan suatu trapesium ABCD merupakan trapesium samakaki dengan AB//CD. Berdasarkan sifat trapesium pada umumnya, ∠A berpelurus dengan ∠D dan ∠B berpelurus dengan ∠C. Dan berdasarkan sifat trapesium samakaki, ∠A = ∠B dan ∠C = ∠D. Kedua sifat ini mengakibatkan ∠A berpelurus dengan ∠C, dan ∠B berpelurus dengan ∠D, sehingga merupakan segiempat tali busur.
- Layang-Layang Siku-Siku
3. Penggunaan Segiempat Tali Busur
A. Menentukan kepanjangan dua sisi yang berhadapan dengan sisi segiempat tali busur
p : (n + q) = m : k, dengan kata lain, kp = m(n + q) = mn + mq (i)
q : (l + p) = m : k, dengan kata lain, kq = m(l + p) = ml + mp (ii)
Ubah bentuk (i) dan (ii) menjadi:
(i) kp - mq = mn, kalikan k
(ii) kq - mp = ml, kalikan m
Setelah dikalikan menjadi:
k2p – mkq = mkn
mkq – m2p = m2l
k2p – m2p = mkn + m2l
(k2 – m2)p = m(kn + ml)
Perhatikan segitiga ACE dan BDE
(i) ∠DAC = ∠DBC karena sudut keliling yang menghadap busur yang sama
(ii) ∠AEB = ∠AEB karena berhimpit
∴ ∆ACE ~ ∆BDE (A-A), dari kesebangunannya diperoleh perbandingan:
AC : BD = CE : DE = p : q = (kn + ml) : (kl + mn)
C. Perhitungan diagonal
Ingat kembali perbandingan diagonal dan teorema Ptolomeus:
AC/BD = (kn + ml)/(kl + mn)
AC.BD = km + ln
Sehingga diperoleh:
Cara menentukan jari-jari lingkaran luar suatu segiempat tali busur adalah dengan mencari salahsatu diagonalnya, lalu terbentuk segitiga sehingga jari-jari lingkaran luar dapat ditentukan.
E. Identifikasi segiempat tali busur
Suatu segiempat dapat dikenali sebagai segiempat tali busur jika didapati setidaknya salahsatu dari:
4. Luas Segiempat Tali Busur
Misalkan suatu segiempat tali busur dengan panjang sisi a, b, c, d. Setengah kelilingnya adalah s, luasnya dapat dicari dengan rumus Brahmagupta:
Perhatikan gambar berikut:
Telah dibahas pada pembahasan tali busur, bahwa ∆APD ~ ∆BPC dengan perbandingan PD/PB = PA/PC = AD/BC.
Misalkan AB = a, BC = b, CD = c, AD = d, AP = e, DP = f.
Rasio kesebangunan ∆APD dan ∆BPC adalah AD/BC = d/b, perbandingan luasnya adalah d2/b2. Mengapa demikian? karena segitiga yang sebangun berlaku perbandingan alas sama dengan perbandingan tinggi, oleh karena itu perbandingan luas sama dengan kuadrat perbandingan sisi.
[PDA] = (d2/b2)*[PBC]
[ABCD] = [PBC] - [PDA], misalkan [ABCD] = L dan [PBC] = T
Komentar
Posting Komentar