Sistem Persamaan Linear

Sejumlah berhingga persamaan linear dalam variabel x₁, x₂, …, x_n disebut Sistem Persamaan Linear (SPL). Pasangan terurut (s₁, s₂, …, s_n) merupakan solusi dari SPL apabila x₁ = s₁, x₂ = s₂, …, x_n = s_n merupakan solusi dari setiap persamaan dalam SPL itu. Kumpulan semua solusi dari SPL itu disebut Himpunan Solusi dari SPL.

Suatu SPL yang tidak mempunyai solusi disebut tidak konsisten, sedangkan jika memiliki solusi disebut konsisten.

Bentuk umum SPL dari m persamaan dengan n variabel adalah:

dengan a_ij, b_i konstanta real,

i = 1, 2, ..., m

j = 1, 2, ..., n

Selain itu, suatu sistem persamaan linear juga dapat disajikan dalam bentuk matriks

a11	a12	…	a1n	b1
a21	a22	…	a2n	b2
…	…	…	…	…
am1	am2	…	amn	bm

Metode dasar untuk menyelesaikan SPL adalah dengan menggantikan sistem yang ada dengan suatu sistem baru yang memiliki himpunan solusi yang sama tetapi penyelesaiannya lebih mudah. Sistem baru tersebut diperoleh melalui beberapa Langkah dengan menerapkan tiga jenis operasi untuk mengeliminasi faktor-faktor yang tidak diketahui secara sistematis, yaitu :

1. Mengalikan persamaan dengan konstanta tak nol

2. Menukarkan posisi dua persamaan

3. Menambahkan kelipatan suatu persamaan ke persamaan lainnya

Karena baris-baris (urutan horisontal) dari matriks yang diperbesar bersesuaian dengan persamaan-persamaan dalam sistem yang berkaitan maka operasi ini bersesuaian dengan operasi-operasi berikut yang dikenakan pada baris-baris matriks, yaitu :

1. Mengalikan baris dengan konstanta tak nol

2. Menukarkan posisi dua baris

3. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya

Operasi ini disebut Operasi Baris Elementer (OBE)

Contoh:

Tentukan penyelesaian dari SPL berikut dengan Operasi Baris Elementer (OBE)

2x₁ + 4x₂ – 3x₃ = 1

x₁ + x₂ + 2x₃ = 9

3x₁ + 6x₂ – 5x₃ = 0

SPL tersebut dapat disajikan dalam matriks

R₂ = 2R₂ – R₁, R₃ = 2R₃ – 3R₁, menjadi

R₁ = R₁ + 2R₂, menjadi

R₁ = R₁ + 11R₃, R₂ = R₂ + 7R₂, menjadi

Terakhir, lakukan pembagian, dan hasil akhirnya adalah:

Himpunan penyelesaian: {(x₁, x₂, x₃)| x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3}