Tali Busur dan Apotema

A. Hubungan Tali Busur dengan Apotema

Perhatikan gambar berikut:

Diketahui |PQ| = |PR| karena keduanya jari-jari lingkaran, sehingga didapati bahwa segitiga PQR samakaki. Dikarenakan samakaki, segitiga PQR dapat dibagi menjadi 2 segitiga siku-siku yang kongruen. Oleh karena itu, segitiga PFR kongruen dengan PFQ, sehingga |FQ| = |FR| karena sisi yang bersesuaian pada segitiga kongruen.

Kita telah mengetahui bahwa diantara sifat apotema adalah tegak lurus dengan tali busur. Dari gambar diatas kita mengetahui sifat lain dari apotema, yaitu membagi tali busur menjadi 2 bagian sama panjang.

B. Kesebangunan Segitiga dari Perpotongan Dua Tali Busur

Perhatikan gambar berikut:

Digambarkan segmen garis RS dan TU merupakan tali busur lingkaran dan keduanya berpotongan di titik Q. Akan dibuktikan bahwa segitiga SQU sebangun dengan RQT.

(i) ∠𝑆𝑄𝑈 = ∠𝑅𝑄𝑇 karena bertolak belakang

(ii) ∠𝑆𝑅𝑇 = ∠𝑆𝑈𝑇 karena sudut keliling yang menghadap busur yang sama (busur ST)

(iii) ∠𝑈𝑆𝑅 = ∠𝑈𝑇𝑅 karena sudut keliling yang menghadap busur yang sama (busur RU)

∴ ∆𝑆𝑄𝑈~∆𝑅𝑄𝑇 berdasarkan A-A-A

Dari kesebangunannya diperoleh perbandingan QR.QS = QT.QU

3. Besar Sudut Perpotongan Dua Tali Busur

Perhatikan segitiga CNB

∠NCB = ½∠AOB, karena ∠NCB sudut keliling dan ∠AOB sudut pusat, keduanya menghadap busur yang sama. ∠CBN = ½∠COD, karena ∠CBN sudut keliling dan ∠COD sudut pusat, keduanya menghadap busur yang sama. Oleh karena itu besar ∠CNB adalah:

∠CNB = 180° - ∠NCB - ∠CBN

∠CNB = 180° - ½∠AOB - ½∠COD

Sedangkan ∠CND berpelurus dengan ∠CNB, sehingga besarnya adalah:

∠CND + ∠CNB = 180°

∠CND + 180° - ½∠AOB - ½∠COD = 180°

∠CND - ½∠AOB - ½∠COD = 0

∠CND = ½∠AOB + ½∠COD

∴ ∠CND = ½(∠AOB + ∠COD)

Besar sudut perpotongan dua tali busur sama dengan setengah jumlah kedua sudut pusat yang berhadapan.

4. Kesebangunan Segitiga Pada Perpanjangan Tali Busur

Digambarkan BP merupakan perpanjangan tali busur BA dan CP merupakan perpanjangan tali busur CD, adapun TP merupakan garis singgung.

(i) ∠BAC = ∠BDC karena sudut keliling yang menghadap busur yang sama

(ii) ∠ABD = ∠ACD karena sudut keliling yang menghadap busur yang sama

(iii) ∠CAD = ∠CBD karena sudut keliling yang menghadap busur yang sama

Besar ∠BAD adalah:

∠BAD = ∠BAC + ∠CAD

∠BAD = ∠BDC + ∠CBD, berdasarkan (i) dan (iii)

∠BAD = 180° - ∠BCD, jumlah sudut segitiga

(iv) ∠BAD = ∠PCD

Besar ∠ABC adalah:

∠ABC = ∠ABD + ∠DBC

∠ABC = ∠ACD + ∠CAD, berdasarkan (ii) dan (iii)

∠ABC = 180° - ∠ADC, jumlah sudut segitiga

(v) ∠ABC = ∠PDC

(vi) ∠APB = ∠APB karena berhimpit

∴ Dari (iv), (v), (vi) ∆APB ~ ∆DPC, dari kesebangunannya diperoleh perbandingan:

PB/PD = PA/PC, dengan kata lain PC.PB = PD.PA

Perlu diketahui bahwa perpanjangan tali busur memotong lingkaran di 2 titik, pada suatu titik diluar lingkaran (P) hasil kali jarak titik P ke titik potong terdekat (C dan D) dengan jarak titik P ke titik potong jauh (C kolinear dengan B, dan D kolinear dengan A) adalah sama. Sedangkan PT merupakan garis singgung yang menyinggung lingkaran di titik T. Oleh karena itu hasil kali lainnya sama dengan kuadrat PT.

Jadi, PC.PB = PD.PA = PT² (Karena PT.PT)

5. Kuasa Titik Terhadap Lingkaran

Jika hasil perbanyakan PA.PB diberi tanda positif atau negatif, maka hasil perbanyakan dianggap positif jika P di luar lingkaran, dan negatif jika P di dalam lingkaran.

Yang disebut Kuasa 𝜇(P, L) dari suatu titik P terhadap lingkaran L ialah hasil perbanyakan PA.PB (Vektor) 

A dan B adalah titik potong lingkaran itu dengan sebuah garis yang melalui P. Kuasa ini positif, jika P di luar lingkaran, nol jika P pada lingkaran dan negatif jika P terletak di dalam lingkaran.

Diberikan titik P dengan P, A, B kolinear. A dan B terletak pada lingkaran, M pusat lingkaran AC apotema.

Kuasa titik P terhadap lingkaran adalah: