Teorema Garis Bagi

1. Teorema Perbandingan Garis Bagi

Diberikan segitiga ABC dengan titik D pada sisi BC sedemikian hingga AD merupakan garis bagi sudut BAC, berlaku perbandingan berikut:

AB:BD = AC:CD

Bukti:

Buat garis tegak lurus dengan AD melalui titik A lalu refleksikan segitiga ABC terhadap garis tersebut, lalu hubungkan titik C dengan bayangannya.

Dikarenakan refleksinya terhadap garis yang melalui titik A, kita mendapati bahwa jarak dari A ke setiap titik yang ada pada segitiga awal sama dengan jarak A terhadap bayangannya, seperti:

|AB| = |AB'|, |AC| = |AC'|, |AD| = |AD'|

Dan dikarenakan refleksinya terhadap garis yang tegak lurus dengan garis bagi, kita mendapati bahwa setiap titik yang ada pada segitiga awal kolinear dengan A dan bayangan jauh, seperti:

(B, A, C'), (C, A, B'), (D, A, D')

Perhatikan segitiga ABD dan C'BC

(i) ∠ABD = ∠C'BC karena berhimpit

(ii) ∠BAD = ∠BC'C karena sehadap

(iii) ∠ADB = ∠C'CB karena sehadap

∴ Jadi, ABD ~ C'BC, dari kesebangunannya diperoleh perbandingan:

AB:AC' = BD:CD, karena AC' = AC disubstitusikan menjadi AB:AC = BD:CD

Terbukti

Cara lain untuk membuktikannya adalah dengan perbandingan luas:

Diberikan segitiga ABC dengan AD membagi sudut BAC menjadi 2 bagian sama besar.

Perhatikan segitiga ABD dan ACD, keduanya memiliki tinggi yang sama yaitu AE. Oleh karena itu perbandingan luasnya sama dengan perbandingan alasnya, [ABD]:[ACD] = |BD|:|CD|.

Perhatikan segitiga AFD dan AGD

(i) Telah diketahui ∠FAD = ∠GAD

(ii) |AD| = |AD| karena berhimpit

(iii) ∠FDA = ∠GDA karena sisa sudut, ∠FAD = ∠GAD, ∠AFD = ∠AGD karena siku-siku, sehingga ∠FDA = ∠GDA karena sisanya

∴ AFD dan AGD kongruen, sehingga diperoleh |FD| = |GD|

Perhatikan segitiga ABD dan ACD

Fokus pada sisi AB dan AC sebagai alas, tingginya FD dan GD. Karena tingginya sama, kita mendapati bahwa perbandingan luasnya sama dengan perbandingan alasnya, [ABD]:[ACD] = |AB|:|AC|.

Terbukti bahwa |BD|:|CD| = |AB|:|AC|

2. Teorema Kuadrat Garis Bagi

Diberikan segitiga ABC dengan D pada sisi BC sedemikian hingga AD garis bagi sudut A, misalkan panjang AB = c, AC = b, BC = a, BD = m, CD = n, dan AD = x, berlaku:

x² = b.c – m.n

Bukti:

Berdasarkan teorema Stewart, berlaku x².a = b².m + c².n – m.n.a, masukkan perbandingan garis bagi:

x².a = b².m + c².n – m.n.a

x².a = b².n.c/b + c².m.b/c – m.n.a

x².a = b.n.c + c.m.b – m.n.a

x².a = b.c.(n + m) – m.n.a

x².a = b.c.a – m.n.a, bagi masing-masing ruas dengan a

x² = b.c – m.n

Terbukti

3. Garis Bagi Luar

Perhatikan gambar berikut:

Diberikan segitiga ABC dengan sebarang titik D pada perpanjangan sisi BA, dan titik E pada perpanjangan sisi BC sedemikian hingga AE membagi sudut CAD menjadi 2 bagian sama besar. Misalkan panjang AB = c, AC = b, BC = a, CE = m, BE = n, dan AE = x, berlaku persamaan:

x² = m.n – b.c

Bukti:

Buat titik F pada sisi AB sedemikian hingga CF sejajar dengan AE

(i) ∠𝐴𝐹𝐶 = ∠𝐷𝐴𝐸 karena sehadap

(ii) ∠𝐴𝐶𝐹 = ∠𝐶𝐴𝐸 karena dalam berseberangan

(iii) ∠𝐷𝐴𝐸 = ∠𝐶𝐴𝐸

∴ ∠𝐴𝐹𝐶 = ∠𝐴𝐶𝐹 

Oleh karena itu ∆𝐴𝐹𝐶 samakaki sehingga AF = AC

Perhatikan segitiga ABE dan FBC

(i) ∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐵𝐹𝐶 karena sehadap

(ii) ∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐹𝐵𝐶 karena berhimpit

(iii) ∠𝐵𝐸𝐴=∠𝐵𝐶𝐹 karena sehadap

∴∆𝐵𝐹𝐶~∆𝐵𝐴𝐸 

Dari kesebangunan diperoleh perbandingan

AB:BE = AF:CE, substitusikan AF = AC

AB:BE = AC:CE, gunakan permisalan diatas menjadi c:n = b:m, selengkapnya:

Fokus pada sisi b dan berlaku teorema Stewart:

b².n = c².m + x².a – a.m.n, pindah ruas dan tukar tempat

x².a = b².n – c².m + a.m.n, substitusikan perbandingan

Terbukti.

4. Titik Bagi

Ketiga garis bagi segitiga berpotongan pada satu titik yang disebut titik bagi.

Bukti:

Misalkan segitiga ABC dengan titik D, E, F pada sisi BC, AC, AB sedemikian hingga AD, BE, CF merupakan garis bagi segitiga. Berdasarkan teorema perbandingan diatas diperoleh:

Dikarenakan hasil kali perbandingannya adalah 1, menurut teorema Ceva ketiganya berpotongan pada satu titik.

Terbukti.