Titik Berat dan Titik Tinggi Segitiga

A. Titik Berat Segitiga

Ketiga garis berat segitiga berpotongan pada satu titik yang disebut titik berat. Hal ini sangat mudah dibuktikan dengan teorema Ceva. Hasil kali ketiga perbandingannya pasti 1, karena setiap sisi segitiga terbagi menjadi 2 bagian sama panjang, sehingga menurut teorema Ceva ketiga garis berat segitiga berpotongan pada satu titik.

Setiap garis berat segitiga terbagi menjadi 2 bagian oleh titik berat, dengan bagian terpanjang memiliki panjang 2 kali bagian terpendek. Hal ini dapat dibuktikan dengan teorema Menelaus.

Misalkan untuk garis berat CF berlaku perbandingan FO:OC = 1:2, dimana FO adalah bagian pendek dan OC adalah bagian panjang. Dikarenakan titik E, O, dan B segaris lurus, berlaku teorema Menelaus:

FO:OC = 1:2, terbukti bahwa perbandingannya 1:2

Jika cara yang sama diterapkan pada garis berat lain, akan diperoleh EO:OB = 1:2 dan DO:OA = 1:2

Sehingga terbukti bahwa perbandingan untuk bagian terpendek dan terpanjang adalah 1:2

B. Titik Tinggi Segitiga

Ketiga garis tinggi segitiga berpotongan pada satu titik yang disebut titik tinggi. Hal ini dapat dibuktikan dengan kesebangunan segitiga dan teorema Ceva. Bukti sebagai berikut:

Perhatikan segitiga ADC dan BEC

(i) ∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐵𝐸𝐶 karena siku-siku

(ii) ∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐴𝐶𝐷 karena berhimpit

(iii) Jelas bahwa ∠𝐶𝐴𝐷 = ∠𝐶𝐵𝐸 karena sisa sudut

Jadi, keduanya sebangun (A-A-A), diperoleh perbandingan:

Perhatikan segitiga AEB dan AFC

(i) ∠𝐴𝐸𝐵 = ∠𝐴𝐹𝐶 karena siku-siku

(ii) ∠𝐵𝐴𝐸 = ∠𝐶𝐴𝐹 karena berhimpit

(iii) Jelas bahwa ∠𝐴𝐵𝐸 = ∠𝐴𝐶𝐹 karena sisa sudut

Jadi, keduanya sebangun (A-A-A), diperoleh perbandingan:

Perhatikan segitiga BDA dan BFC

(i) ∠𝐵𝐷𝐴 = ∠𝐵𝐹𝐶 karena siku-siku

(ii) ∠𝐴𝐵𝐷 = ∠𝐶𝐵𝐹 karena berhimpit

(iii) Jelas bahwa ∠𝐵𝐴𝐷 = ∠𝐵𝐶𝐹 karena sisa sudut

Jadi, keduanya sebangun (A-A-A), diperoleh perbandingan:

Dari ketiga perbandingannya diperoleh:

Menurut teorema Ceva ketiganya konkuren karena hasil kali perbandingannya 1

Untuk mencari perbandingan bagian terpendek dan terpanjang dari garis tinggi, gunakan dalil proyeksi dan teorema Menelaus. Contoh:

Tentukan perbandingan AF:FE dan CF:FD!

Proyeksikan sisi AC

𝐴𝐶² = 𝐴𝐵² + 𝐵𝐶² − 2.𝐵𝐶.𝐵𝐸

8² = 6² + 7² − 2.7.𝐵𝐸

64 = 36 + 49 − 14𝐵𝐸

14𝐵𝐸 = 85 – 64 = 21

𝐵𝐸 = 21/14 = 3/2

𝐶𝐸 = 𝐵𝐶 − 𝐵𝐸

𝐶𝐸 = 7 − 3/2 = 11/2

BE:CE = 3:11

Proyeksikan sisi BC

B𝐶² = 𝐴𝐵² + A𝐶² − 2.AB.AD

7² = 6² + 8² − 2.6.AD

49 = 36 + 64 − 12AD

12AD = 100 – 49 = 51

AD = 51/12 = 17/4

BD = AB − AD

BD = 6 − 17/4 = 7/4

AD:BD = 17:7

Karena CFD kolinear, berlaku teorema Menelaus:

Jadi, AF:FE = 34:11

Karena AFE kolinear, berlaku teorema Menelaus:

Jadi, CF:FD = 88:17

C. Keistimewaan Segitiga Samasisi

Titik berat dan titik tinggi segitiga samasisi adalah titik yang sama.