Bundel Garis

A. Kombinasi Linear Garis Berpotongan

Misal diberikan dua garis sebagai berikut:

g₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0

g₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0

dituliskan dengan simbol g₁(x, y) = 0 dan g₂(x, y) = 0, dapat dikombinasikan linear dengan parameter λ:

g₁ + λg₂ = 0

⇔ A₁x + B₁y + C₁ + λ(A₂x + B₂y + C₂) = 0

⇔ (A₁ + λA₂)x + (B₁ + λB₂)y + C₁ + λC₂ = 0

Jika λ diganti dengan bilangan real tertentu, kombinasi linear diatas merupakan persamaan garis. Jika nilai λ diubah-ubah terbentuk himpunan garis-garis yang melalui titik potong g₁ dan g₂, yang disebut bundel garis.

{λ ∈ R | g₁ + λg₂ = 0} = {λ ∈ R | (A₁ + λA₂)x + (B₁ + λB₂)y + C₁ + λC₂ = 0}

B. Kombinasi Linear Garis Sejajar

Misal diberikan dua garis sebagai berikut:

g₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0

g₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0

yang mana keduanya sejajar, berarti ada bilangan real k sedemikian sehingga A₁ = kA₂ dan B₁ = kB₂.

Kombinasi linear g₁ + λg₂ = 0 adalah (A₁ + λA₂)x + (B₁ + λB₂)y + C₁ + λC₂ = 0, menjadi:

A₂(k + λ)x + B₂(k + λ) + C₁ + λC₂ = 0

Setiap garis yang memenuhi kombinasi linear ini sejajar karena gradiennya sama.

Jika nilai λ diubah-ubah terbentuk himpunan garis-garis yang sejajar dengan g₁ dan g₂.

{λ ∈ R | g₁ + λg₂ = 0} = {λ ∈ R | A₂(k + λ)x + B₂(k + λ) + C₁ + λC₂ = 0}

C. Persamaan Berkas Garis

Misal diberikan dua garis g₁ dan g₂ yang berpotongan pada titik P. Kombinasi linear dari keduanya merupakan persamaan berkas garis.

(i) Untuk setiap nilai λ terdapat satu persamaan garis lurus yang melalui P. Dapat ditulis:

(∀λ)(∃! persamaan garis lurus) ∋ garis tersebut melalui P

(ii) Setiap garis lurus yang melalui P dapat disajikan g₁ + λg₂ = 0. Dapat ditulis:

(∀ garis lurus). jika garis tersebut melalui P maka dapat disajikan g₁ + λg₂ = 0

contoh:

Misalkan dua garis g: 2x + 3y - 5 = 0 dan l: x + 5y - 1 = 0 berpotongan pada titik P. Tentukan persamaan garis melalui P tegak lurus 2x - y + 1 = 0 tanpa mencari koordinat P.

Persamaan garis yang selalu melalui titik P adalah 2x + 3y - 5 + k(x + 5y - 1 = 0).

Karena tegak lurus dengan 2x - y + 1 = 0 berlaku:

Jadi, 3(2x + 3y - 5) + (x + 5y - 1) = 0 ⟺ 7x + 14y - 16 = 0