Invers Matriks

Perlu diketahui bahwa invers matriks ini khusus untuk matriks persegi.

A. Matriks Invertibel (Matriks yang memiliki invers)

Suatu matriks persegi dikatakan memiliki invers (dapat dibalik / invertible) jika terdapat matriks B sehingga AB = BA = I, dengan I matriks satuan.

contoh:

Matriks B:

	3	5
	1	2

merupakan invers dari matriks A:

	2	-5
	-1	3

karena AB = BA = I:

	1	0
	0	1

Invers dari matriks A disimbolkan dengan , sehingga berlaku AA^-1 = A^-1A = I.

B. Matriks Singular (Matriks yang tidak memiliki invers)

Suatu matriks persegi dikatakan tidak memiliki invers (singular) jika untuk setiap matriks B berlaku AB ≠ I dan BA ≠ I.

contoh:

	1	0
	2	0

Jika sebarang matriks dikalikan dengannya akan selalu diperoleh kolom keduanya nol yang berarti tidak sama dengan I.

Catatan: Matriks dengan baris nol atau kolom nol tidak dapat dibalik.

C. Matriks Elementer

Suatu matriks persegi berukuran n × n dinamakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari suatu matriks identitas berukuran n × n (I_n) dengan melakukan satu kali OBE.

contoh:

	1	2
	0	1

Matriks elementer ini diperoleh dari matriks identitas dengan OBE menambahkan baris pertama dengan 2 kali baris kedua.

Sifat-sifat matriks elementer:

1.  Jika suatu matriks elementer E diperoleh dengan melakukan suatu OBE pada I_m dan A adalah matriks berukuran m × n , maka hasil kali EA merupakan suatu matriks yang diperoleh dari A dengan melakukan OBE yang sama pada I_m untuk memperoleh E.

2. Jika suatu OBE dikenakan pada suatu matriks identitas I sehingga menghasilkan matriks E, maka pasti terdapat suatu OBE yang apabila dikenakan pada E akan menghasilkan I. Berikut beberapa contoh OBE I untuk menghasilkan E:

OBE pada I untuk memperoleh E	OBE pada E untuk memperoleh I
Mengalikan baris ke-i dengan k	Mengalikan baris ke-i dengan 1/k
Menukar baris ke-i dengan baris ke-j	Menukar baris ke-i dengan baris ke-j
Menambahkan k kali baris ke-i pada baris ke-j	Menambahkan -k kali baris ke-i pada baris ke-j

3. Setiap matriks elementer mempunyai invers dan inversnya juga merupakan matriks elementer.

Karena setiap matriks elementer E diperoleh dengan melakukan sebuah OBE pada I dan karena dapat ditentukan suatu OBE lagi pada E sehingga diperoleh I, maka menurut sifat sebelumnya terdapat matriks elementer F sehingga : 

FE = EF = I

Hal ini menunjukkan bahwa E mempunyai invers suatu matriks elementer F.

4. Misalkan sebuah matriks elementer E diperoleh dari suatu OBE pada I, hasil kali EA adalah hasil OBE tersebut pada A.

D. Mencari Invers Matriks dengan OBE

Misalkan suatu matriks persegi dilakukan OBE sehingga diperoleh bentuk identitas, apabila langkah-langkah OBE yang sama dilakukan pada matriks identitas akan diperoleh bentuk invers dari matriks awal. Oleh karena itu, invers matriks dapat dicari menggunakan OBE, dengan menambahkan matriks identitas pada bagian kanan, lakukan OBE sehingga bagian kiri menjadi matriks identitas, akan diperoleh invers dari matriks awal pada bagian kanan.

contoh:

Diberikan matriks sebagai berikut:

	1	2	3
	2	5	3
	1	0	8

Tambahkan matriks identitas pada bagian kanan, sehingga menjadi:

	1	2	3	1	0	0
	2	5	3	0	1	0
	1	0	8	0	0	1

R₂ = R₂ – 2R₁, R₃ = R₃ – R₁ menjadi:

	1	2	3	1	0	0
	0	1	-3	-2	1	0
	0	-2	5	-1	0	1

R₁ = R₁ – 2R₂, R₃ = R₃ + 2R₂ menjadi:

	1	0	9	5	-2	0
	0	1	-3	-2	1	0
	0	0	-1	-5	2	1

R₁ = R₁ + 9R₃, R₂ = R₂ – 3R₃ menjadi:

	1	0	0	-40	16	9
	0	1	0	13	-5	-3
	0	0	-1	-5	2	1

R₃ = –R₃ menjadi:

	1	0	0	-40	16	9
	0	1	0	13	-5	-3
	0	0	1	5	-2	-1

Jadi, inversnya adalah:

	-40	16	9
	13	-5	-3
	5	-2	-1

E. Ketunggalan Invers

Jika B dan C keduanya merupakan invers dari A, maka B = C.

Bukti:

B invers dari A berarti BA = I, dan C invers dari A berarti AC = I

Berdasarkan sifat asosiatif perkalian matriks, berlaku (BA)C = B(AC)

(BA)C = B(AC)

IC = BI

C = B ∎

F. Invers Matriks 2 × 2

Matriks persegi A:

	a	b
	c	d

memiliki invers jika ad - bc ≠ 0, dan inversnya adalah:

G. Invers Matriks Perkalian

Diberikan matriks A dan B, maka AB invertible dan berlaku (AB)^-1 = B^-1A^-1.

Bukti:

Akan ditunjukkan bahwa (AB)B^-1A^-1 = B^-1A^-1(AB) = I

Dengan menggunakan sifat asosiatif perkalian matriks:

(AB)B^-1A^-1 = A(BB^-1)A^-1 = AIA^-1 = I

Jika dilakukan cara yang sama untuk B^-1A^-1(AB) akan diperoleh hasilnya I. ∎

Sifat invers matriks perkalian (aturan untuk lebih dari dua matriks):

Hasil kali matriks-matriks yang invertible merupakan matriks invertible, dan inversnya adalah hasil kali invers-inversnya dengan urutan terbalik.

Sifat ini dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat asosiatif perkalian matriks dan induksi matematika.

H. Mencari Matriks dengan Invers

Misal diberikan A matriks persegi invertible berukuran n × n, X dan B keduanya berukuran n × m, dan AX = B, kita dapat mencari matriks X dengan:

X = A^-1B

Begitu juga misal berlaku XA = B, kita dapat mencari X dengan:

X = BA^-1

I. Hubungan Invers dengan Sistem Persamaan Linear

Misal A merupakan matriks koefisien, X merupakan matriks variabel, dan B matriks konstanta, sehingga berlaku AX = B, kita dapat mencari X menggunakan rumus X = A^-1B.

J. Hubungan Invers dengan Perpangkatan

Ingat kembali bahwa jika n bilangan bulat positif dan A suatu matriks persegi, maka Aⁿ = A × A × ... × A sebanyak n faktor.

Selanjutnya untuk n = 0 berlaku A⁰ = I

Jika A memiliki invers, kita dapat mendefinisikan pangkat negatif sebagai:

A^-n = A^-1 × A^-1 × ... × A^-1 sebanyak n faktor.

Sifat-sifat perpangkatan dan invers matriks:

1. Dobel invers

(A^-1)^-1 = A, suatu invers matriks yang diinverskan akan kembali ke matriks asal.

2. Pangkat dan Invers

(Aⁿ)^-1 = (A^-1)ⁿ = A^-n, invers dari matriks yang dipangkatkan sama dengan pangkat dari invers matriks.

3. Skalar

Jika k ≠ 0, berlaku (kA)^-1 = 1/k × (A^-1)

4. Perluasan Sifat Perpangkatan Matriks

Ingat kembali bahwa A^m × Aⁿ = Aⁿ × A^m = A^m+n dan (A^m)ⁿ = (Aⁿ)^m = A^mn.

Kita dapat memperluasnya untuk invers matriks

A^r × A^-s = A^r-s, mengalikan matriks berpangkat dengan pangkat dari invers matriks sama dengan mengurangi pangkat.

(A^r)^-s = (A^-r)^s = A^-rs, memangkatkan matriks berpangkat dengan pangkat negatif menghasilkan negatif hasil kali pangkat.

(A^-r)^-s = (A^-s)^-r = A^rs, memangkatkan matriks berpangkat negatif dengan pangkat negatif menghasilkan hasil kali pangkat.

K. Hubungan Invers dengan Transpose

Jika A matriks invertibel, maka A^T juga invertibel dan berlaku (A^T)^-1 = (A^-1)^T.

Bukti:

A^T.(A^-1)^T = (A^-1A)^T = I^T = I

(A^-1)^T .A^T= (AA^-1)^T = I^T = I ∎