Kedudukan dan Sudut antara Dua Garis (GAD)

A. Kedudukan Dua Garis

Misalkan diberikan dua garis h dan l sebagai berikut:

h: A₁x + B₁y + C₁ = 0

l: A₂x + B₂y + C₂ = 0

Terdapat 3 kemungkinan:

1. Berpotongan (Satu titik sekutu)

h dan l berpotongan apabila:

pertidaksamaan ini ekivalen dengan:

yang artinya gradiennya berbeda.

atau dapat juga dinyatakan dalam determinan matriks:

2. Sejajar (Tidak ada titik sekutu)

h dan l sejajar apabila:

kedua persamaan garis membentuk sistem persamaan linear dengan kedua persamaan yang tidak konsisten (tidak memiliki solusi), sehingga tidak ada titik sekutu.

3. Berhimpit (Lebih dari satu titik sekutu)

h dan l berhimpit apabila:

kedua persamaan garis membentuk sistem persamaan linear dengan kedua persamaan yang identik, sehingga pada hakekatnya hanya ada satu persamaan, akibatnya SPL tersebut memiliki tak hingga solusi, d.k.l kedua garis berhimpit.

B. Sudut antara Dua Garis

Diberikan dua garis g dan l sebagai berikut:

g: y = m₁.x + n₁, dengan m₁ gradien garis g

l: y = m₂.x + n₂, dengan m₂ gradien garis l

Misalkan sudut antara garis g dengan sumbu x positif adalah α, sudut antara garis l dengan sumbu x positif adalah β, dengan menggunakan sudut sehadap diperoleh sudut antara kedua garis adalah α - β.

Sebagaimana telah diberikan bahwa m₁ gradien garis g, berarti m₁ = tanα, juga m₂ gradien garis l, berarti m₂ = tanβ. Oleh karena itu tangen sudut antara g dan l adalah tan(α - β), sebagai berikut:

Catatan: sudut antara dua garis adalah sudut terkecil antara keduanya, agar sudutnya pada kuadran I diharuskan tangennya positif, sehingga menggunakan nilai mutlak. Misalkan sudut antara kedua garis adalah γ berlaku tanγ = |tan(α - β)|

Tambahan:

• Dua garis yang sejajar gradiennya sama, mengapa demikian? karena dua garis sejajar berarti sudut antara keduanya adalah 0. Agar sudutnya 0, tangennya harus bernilai 0, dan dikarenakan tangennya dalam bentuk pembagian agar bernilai 0 diharuskan pembilangnya 0 (m₁ – m₂ = 0 ⇔ m₁ = m₂) yang ekivalen dengan kedua gradiennya sama.

• Dua garis yang tegak lurus hasil kali gradiennya -1, mengapa demikian? karena dua garis tegak lurus berarti sudut antara keduanya adalah 90° yang mana tangennya tidak terdefinisikan. Agar tidak terdefinisikan, penyebut harus 0 (1 + m₁.m₂ = 0 ⇔ m₁.m₂ = –1) yang ekivalen dengan hasil kali gradiennya sama dengan -1. Catatan: dengan syarat kedua gradiennya terdefinisikan.

C. Tiga Garis Konkuren

Misal diberikan tiga garis f, g, h:

f: A₁x + B₁y + C₁ = 0

g: A₂x + B₂y + C₂ = 0

h: A₃x + B₃y + C₃ = 0

Misal f dan g berpotongan pada titik P, agar ketiganya konkuren (berpotongan pada satu titik) diharuskan h juga melalui P. Lakukan persamaan linear dua variabel untuk menentukan koordinat titik P:

Substitusikan x dan y ke persamaan garis h:

Dapat juga dinyatakan dalam determinan matriks:

Jadi, tiga garis yang konkuren memenuhi determinan: