Konsistensi Sistem Persamaan Linear

A. Konsistensi SPL

Misal akan diselesaikan suatu SPL:

x + 2y = 5 (i)

2x + 4y = 2(ii)

Dengan menerapkan eliminasi Gauss, diperoleh hasil sebagai berikut:

	1	2	5
	2	4	2

R₂ = R₂ – 2R₁ menjadi:

	1	2	5
	0	0	-8

Menurut hasil di atas, diperoleh persamaan 0 ⋅ x + 0⋅ y = -8. Dari sini, tidak mungkin ada nilai x dan y yang memenuhi persamaan tersebut. Oleh karena itu sistem persamaan linear di atas dikatakan tidak konsisten.

Definisi: Suatu sistem persamaan linear yang tidak memiliki solusi dinamakan tidak konsisten.

Ada 3 kemungkinan untuk suatu persamaan linear:

1. Memiliki tepat satu solusi

Yaitu sistem persamaan linear yang konsisten dan hanya ada satu kemungkinan solusi. Ciri-cirinya adalah banyak persamaan (yang independen) paling sedikit sama dengan banyak variabel. Persamaan independen adalah persamaan yang tidak identik dengan hasil operasi persamaan lain.

2. Memiliki tak hingga solusi

Yaitu sistem persamaan linear yang konsisten dan memiliki tak hingga kemungkinan solusi. Ciri-cirinya adalah banyak persamaan (yang independen) kurang dari banyak variabel.

3. Tidak memiliki solusi

Yaitu sistem persamaan linear yang tidak konsisten. Ketidakkonsistenan ini disebabkan oleh adanya baris yang seluruh koefisiennya 0 akan tetapi konstantanya tidak 0.

B. SPL Homogen

Sistem persamaan linear yang berbentuk:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = 0

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_1nx_n = 0

…

a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n = 0

Disebut SPL homogen, yaitu SPL yang setiap konstantanya 0. SPL homogen selalu memiliki solusi karena semua solusinya 0 selalu merupakan solusi dari sistem tersebut.

Solusi x₁ = x₂ = … = x_n = 0 disebut solusi trivial (tak sejati).

Jika ada solusi lain, maka solusi tersebut dinamakan solusi tak trivial (sejati).

Ciri-ciri suatu SPL homogen memiliki solusi tak trivial adalah SPL tersebut memiliki tak hingga solusi.

Contoh soal dan pembahasan

1. Untuk nilai a berapakah sistem berikut tidak memiliki solusi? Tepat satu solusi? Tak hingga banyaknya solusi?

𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 4 (i)

3𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 2 (ii)

4𝑥 + 𝑦 + (a² − 14)𝑧 = a + 2 (iii)

Jumlahkan (i) dan (ii)

4𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 6 (iv)

Koefisien x dan y persamaan (iii) sama dengan (iv), agar sistem diatas memiliki tak hingga banyak solusi, diharuskan persamaan (iii) identik dengan (iv) yang merupakan jumlah dari (i) dan (ii).

a² − 14 = 2 

a² = 2 + 14 = 16 

a = ±4 

Untuk a = 4, 𝑎 + 2 = 6 sehingga memiliki tak hingga banyaknya solusi

Untuk 𝑎 = −4, 𝑎 + 2 = −2 sehingga tidak memiliki solusi

Untuk 𝑎 ≠ 4 ≠ −4 persamaan (iii) independen, sehingga memiliki tepat satu solusi

2. Untuk nilai λ berapakah, sistem persamaan berikut

(𝜆 − 3)𝑥 + 𝑦 = 0 

𝑥 + (𝜆 − 3)𝑦 = 0 

memiliki solusi taktrivial?

Agar memiliki solusi taktrivial, banyak persamaan harus kurang dari banyak variabel agar persamaan memiliki tak hingga solusi. Kedua persamaan diatas harus identik agar pada kenyataannya hanya ada satu persamaan.

1/(𝜆−3) = (𝜆−3)/1 

(𝜆−3)² = 1 

𝜆−3 = ±1 

𝜆 = 3 ± 1 

𝜆 = 4 ∨ 𝜆 = 2

Jadi, agar SPL tersebut memiliki solusi tak trivial, nilai 𝜆 sama dengan 4 atau 2