Operasi Matriks

A. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

• Agar matriks dapat dijumlahkan (dan dikurangkan) diharuskan ukuran dan dimensinya sama, oleh karena itu matriks yang berbeda ukuran tidak dapat dijumlahkan (dan dikurangkan).

• Matriks hasil penjumlahan dan pengurangan memiliki ukuran yang sama dengan matriks asal.

• Penjumlahan (dan pengurangan) matriks adalah menambahkan (dan mengurangi) elemen pada posisi yang sama

Misal diberikan dua matriks A = (a_ij) dan B = (b_ij) yang berukuran m × n berlaku:

A + B = (a_ij + b_ij) berukuran m × n

A - B = (a_ij - b_ij) berukuran m × n

-A = (-a_ij) berukuran m × n

A + (-B) = A - B

dengan i = 1, 2, ..., m; dan j = 1, 2, ..., n

Sifat-sifat penjumlahan matriks:

• Sifat komutatif penjumlahan

A + B = B + A

• Sifat negatif pengurangan

A - B = -(B - A)

• Sifat asosiatif penjumlahan

(A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C

• Sifat operasi matriks nol

A + 0 = A

A - 0 = A

A - A = 0

A + (-A) = 0

contoh:

B. Perkalian Skalar dengan Matriks

Perkalian skalar matriks adalah mengalikan seluruh elemen matriks dengan skalar tersebut. Misal diberikan skalar real k dan matriks A = (a_ij) berlaku:

kA = (k.a_ij)

Sifat-sifat perkalian skalar dengan matriks:

• Sifat komutatif

kA = Ak

• Sifat asosiatif

(k₁k₂)A = k₁(k₂A)

• Sifat identitas

1.A = A.1 = A

• Sifat negatif

-1.A = A.(-1) = -A

• Sifat distributif

k(A + B) = kA + kB

(k₁ + k₂)A = k₁A + k₂A

contoh:

C. Perkalian Matriks dengan Matriks

• Agar perkalian matriks dapat dilakukan, diharuskan banyak kolom pada matriks pertama sama dengan banyak baris pada matriks kedua, oleh karena itu dua matriks dengan banyak kolom pada matriks pertama berbeda dengan banyak baris pada matriks kedua tidak dapat dikalikan.

• Banyak baris matriks perkalian sama dengan banyak baris matriks pertama, banyak kolom matriks perkalian sama dengan banyak kolom matriks kedua.

• Perkalian matriks dengan matriks adalah mengalikan baris dengan kolom.

Misal diberikan matriks A = (a_ij) berukuran m × p dan B = (b_ij) berukuran p × n berlaku:

dengan ukuran m × n

Sifat-sifat perkalian matriks dengan matriks:

• Tidak komutatif

AB ≠ BA

• Asosiatif

A(BC) = (AB)C = ABC

• Distributif kiri

A(B + C) = AB + AC

A(B - C) = AB - AC

• Distributif kanan

(A + B)C = AC + BC

(A - B)C = AC - BC

• Skalar

k(AB) = (kA)B = kAB

• Identitas

I_m.A = A

A.I_n = A

Khusus matriks persegi berlaku IA = AI = A

• Matriks nol

A0 = 0

0A = 0

contoh:

catatan: Perkalian matriks tidak berlaku aturan pembatalan:

• Tidak berlaku "Jika AB = AC dan A ≠ 0, maka B = C", contoh:

Pada kasus ini, AB = AC dan A ≠ 0, tetapi B ≠ C.
• Tidak berlaku "Jika AD = 0 maka A = 0 atau D = 0", contoh:

Pada kasus ini, AD = 0, tetapi A ≠ 0 dan D ≠ 0.

D. Perpangkatan Matriks (Khusus Matriks Persegi)

Jika n bilangan bulat positif dan A suatu matriks persegi, maka Aⁿ = A × A × ... × A sebanyak n faktor. Contoh:

Sifat-sifat perpangkatan matriks:

A^m × Aⁿ = Aⁿ × A^m = A^m+n, perkalian matriks berpangkat dengan menjumlahkan pangkatnya

(A^m)ⁿ = (Aⁿ)^m = A^m×n, perpangkatan matriks berpangkat dengan mengalikan pangkatnya

E. Transpose Matriks

Jika A matriks berukuran m × n, maka transpose A (dinotasikan A^T), merupakan matriks berukuran n × m dengan baris ke-i nya merupakan kolom ke-i dari A.

Baris menjadi kolom, dan kolom menjadi baris.

Misal diberikan A = (a_ij), transpose nya A^T = (a_ji).

contoh:

Diberikan matriks A sebagai berikut:

	2	3
	1	4
	5	6

transposenya adalah A^T sebagai berikut:

	2	1	5
	3	4	6

Sifat-sifat transpose matriks:

• Dobel transpose

(A^T)^T = A

Matriks yang ditranspose dua kali kembali ke matriks semula.

• Distributif

(A + B)^T = A^T + B^T

Transpose matriks penjumlahan dengan menjumlahkan masing-masing transpose.

• Skalar

(kA)^T = k(A^T)

Transpose perkalian skalar yaitu mengalikan skalar dengan transpose matriks.

• Perkalian

(AB)^T = B^TA^T

Transpose matriks perkalian yaitu mengalikan transpose matriks kedua dengan matriks pertama.

F. Trace (Khusus Matriks Persegi)

Misal A matriks persegi, trace dari A, disimbolkan tr(A), adalah jumlah elemen-elemen diagonal utama.

contoh:

	1	2	3
	4	5	6
	7	8	9

Trace dari matriks ini adalah 1 + 5 + 9 = 15.

Sifat istimewa trace matriks: tr(AA^T) = tr(A^TA), Bukti:

tr(AA^T) adalah:

sedangkan tr(A^TA) adalah:

∴ Jadi, tr(AA^T) = tr(A^TA) = sumsq(a ∈ A) ∎