Proyeksi Titik, Garis, Bidang

A. Proyeksi Titik pada Garis

Proyeksi tegak lurus suatu titik P pada garis tertentu adalah titik potong antara garis yang melalui P tegak lurus dengan garis tertentu.

Dari titik P ditarik garis m ⊥ garis k dan garis m memotong k di Q, titik Q  adalah hasil proyeksi  titik P pada k.

B. Proyeksi Titik pada Bidang

Proyeksi suatu titik P pada suatu bidang (w) adalah titik potong (Q) antara garis (g) yang melalui P yang tegaklurus dengan bidang itu. Titik Q disebut proyeksi P pada bidang w.

C. Proyeksi Garis Sejajar Bidang

1. Misal diberikan garis g sejajar bidang f, pilih sebarang dua titik pada garis g, misal titik P dan Q.

2. Proyeksikan kedua titik pada bidang f, misal titik P terproyeksikan pada titik R, dan titik Q terproyeksikan pada titik S.

3. Buat garis melalui R dan S, sebut saja garis h.

4. Proyeksi garis g pada bidang f adalah garis h.

D. Proyeksi Garis Tegak Lurus Bidang

Proyeksi garis tegak lurus bidang adalah titik potongnya.

E. Proyeksi Garis Memotong Bidang (tidak tegak lurus)

1. Misalkan garis g memotong bidang f di titik Q, pilih sebarang titik pada garis g, misal titik P.
2. Proyeksikan titik P ke bidang f, misalnya P terproyeksikan ke titik R.

3. Buat garis melalui Q dan R, sebut saja garis h.

4. Proyeksi garis g pada bidang f adalah garis h.

Contoh soal dan pembahasan

Diketahui kubus ABCD.EFGH

Misal titik T pertengahan diagonal sisi AC, AG diagonal ruang, apakah AG tegak lurus ET?
AG berpotongan dengan ET karena ada bidang yang memuat keduanya, yaitu bidang ACGE, dan memiliki titik potong, yaitu A'. Selanjutnya fokus pada bidang ACGE:

Misalkan panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah s, panjang AC adalah s√2 karena diagonal sisi, dan panjang AG adalah s√3 karena diagonal ruang.

Karena T pertengahan AC, panjang AT setengah AC = setengah GE

Perhatikan segitiga AA'T dan EA'G

(i) ∠A'AT = ∠EA'G karena bertolak belakang

(ii) ∠TAA' = ∠EGA' karena dalam berseberangan

(iii) ∠ATA' = ∠GEA' karena dalam berseberangan

Segitiga AA'T dan EA'G sebangun, dari kesebangunannya diperoleh perbandingan:

AT:GE = AA':GA' = EA':TA' = 1:2

Untuk menyelidiki apakah AG tegak lurus ET pilih salahsatu dari segitiga AA'T, EA'G, atau AA'E

Misal pilih segitiga AA'E

(i) Tentukan panjang EA'

(ii) Tentukan panjang AA'

(iii) Cek apakah memenuhi rumus Pythagoras

Ternyata memenuhi rumus Pythagoras, oleh karena itu AG tegak lurus ET.