Sudut dan Ketegaklurusan Garis dan Bidang

A. Sudut antara Dua Garis

Besar Sudut antara garis m dan garis k adalah adalah besar sudut terkecil yang dibentuk  oleh kedua garis tersebut.

B. Garis Tegak Lurus Bidang

Garis l memotong bidang v di O. garis k terletak pada v. Melalui O dibuat sinar OB yang terletak pada v dan sejajar k.

Definisi:

Sudut antara garis l dan k adalah sudut yang terbentuk antara OA dan OB dimana OB sejajar k dan memotong l pada O. Jika yang terbentuk adalah sudut siku-siku maka l tegak lurus k.

C. Garis Tegak Lurus Bidang yang Diperumum

Jika suatu garis dipotong tegak lurus oleh 2 garis lain (pada satu titik) maka garis itu akan tegak lurus pada setiap garis yang terletak pada bidang yang memuat 2 garis tersebut.

Misal garis l dipotong tegak lurus oleh garis a dan b pada satu titik, maka l tegak lurus dengan setiap garis yang terletak pada bidang yang memuat a dan b.

D. Teorema Ketegaklurusan

(i) Jika garis l tegak lurus pada dua garis berpotongan maka l tegak lurus dengan bidang yang memuat dua garis yang berpotongan itu.

(ii) Melalui satu titik pada garis l hanya dapat dibuat tepat satu bidang yang tegak lurus garis l

(iii) Dua garis yang berbeda yang tegaklurus bidang yang sama akan tidak pernah berpotongan

(iv) Melalui satu titik yang tidak terletak pada suatu bidang hanya dapat dibuat satu garis yang tegaklurus dengan bidang tersebut.

E. Teorema Komparasi Jarak

Misal v sebuah bidang, l garis tegak lurus bidang, v dan l berpotongan di T, titik P dan F terletak pada garis l, jika AP > BP maka AF > BF.

Bukti:

Garis l tegak lurus dengan bidang v dengan T sebagai titik potongnya, P dan F terletak pada l, A dan B terletak pada v, sehingga sudut ATP, ATF, BTP, BTF siku-siku dan berlakulah rumus Pythagoras. Dan dikarenakan AP > BP, maka:

AP² > BP²

AT² + TP² > BT² + TP², kurangi masing-masing ruas dengan TP² menjadi:

AT² > BT², tambahkan masing-masing ruas dengan TF² menjadi:

AT² + TF² > BT² + TF² 

AF² > BF², sehingga

AF > BF

Tambahan: Teorema ini berlaku kebalikan, untuk membuktikannya hanya dengan membalik langkah (reversed proof).