Luas Segitiga (Rumus Cayley-Menger)

Misal diberikan segitiga dengan panjang sisinya a, b, c. Selain menggunakan rumus Heron, kita juga bisa menggunakan rumus Cayley-Menger yang ditemukan oleh Arthur Cayley dan Karl Menger. Berikut rumus luas segitiga berdasarkan sisi-sisinya menggunakan rumus Cayley-Menger:

Untuk membuktikannya perhatikan gambar berikut:

Diketahui segitiga ABC dengan BD garis tinggi dari sisi AC, berarti BD ⊥ AC.

Perhatikan segitiga ADB dan CDB:

BD² = BA² – AD² = BC² – CD²

Misalkan BD = t, BA = c, BC = a, dan CD = k, secara otomatis AD = b – k

t² = c² – (b – k)² = a² – k²

c² – b² + 2bk – k² = a² – k²

2bk = a² – k² – c² + b² + k²

2bk = a² + b² – c², sehingga diperoleh nilai k:

Substitusikan nilai k ke segitiga CDB:

Tambahan: Jika panjang sisi-sisi segitiga berupa akar, rumus Cayley-Menger ini lebih mudah digunakan, karena di setiap sukunya tanda akar hilang karena berpangkat genap.