Persamaan Garis Kutub Lingkaran

A. Persamaan garis kutub lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan jari-jari r dari titik P(x₁, y₁)

Misal suatu lingkaran berpusat di O(0, 0) dibuat garis singgung dari titik P(x₁, y₁) di luar lingkaran, akan terbentuk 2 garis singgung yang masing-masing menyinggung lingkaran di titik Q dan R. Garis lurus yang melalui Q dan R disebut garis kutub.

Misal ditarik garis melalui O dan P, gradiennya adalah y₁/x₁. Garis QR ⊥ OP karena PQR segitiga samakaki dengan PQ = PR, sehingga gradien garis QR adalah -x₁/y₁.

Misal koordinat Q(a, b), persamaan garis QR adalah:

y - b = -x₁/y₁(x - a)

(y - b)y₁ = -x₁(x - a)

yy₁ - by₁ = -xx₁ + ax₁

xx₁ + yy₁ = ax₁ + by₁

xx₁ + yy₁ = r²

Jadi, persamaan garis kutubnya adalah xx₁ + yy₁ = r².

B. Persamaan garis kutub lingkaran dengan pusat M(a, b) dan jari-jari r dari titik P(x₁, y₁)

Ingat kembali pergeseran sumbu, misal sumbu awal yang berpusat di O(0, 0) digeser ke M(a, b), koordinat baru untuk titik P adalah P'(x₁', y₁'), dengan x₁' = x₁ – a, y₁' = y₁ – b, sehingga persamaan garis kutub barunya adalah:

x'x₁' + y'y₁' = r², nilai r tetap karena hanya menggeser tanpa mengubah ukuran.

Substitusikan kembali koordinatnya:

(x – a)(x₁ – a) + (y – b)(y₁ – b) = r²

Jadi, persamaan garis kutub lingkaran melalui titik P(x₁, y₁) di luar lingkaran yang berpusat di M(a, b) adalah (x – a)(x₁ – a) + (y – b)(y₁ – b) = r².

Persamaan garis singgung lingkaran dalam bentuk ABC:

Misalkan suatu lingkaran dalam bentuk x² + y² + Ax + By + C = 0, pusatnya adalah (–½A, –½B), dan kuadrat jari-jarinya adalah r² = ¼A² + ¼B² – C, substitusikan ke persamaan sebelumnya:

(x – a)(x₁ – a) + (y – b)(y₁ – b) = r²

(x + ½A)(x₁ + ½A) + (y + ½B)(y₁ + ½B) = ¼A² + ¼B² – C

xx₁ + ½A(x + x₁) + ¼A² + yy₁ + ½B(y + y₁) + ¼B² = ¼A² + ¼B² – C

xx₁ + ½A(x + x₁) + yy₁ + ½B(y + y₁) + C = 0

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0 melalui titik P(x₁, y₁) di luar lingkaran adalah xx₁ + ½A(x + x₁) + yy₁ + ½B(y + y₁) + C = 0.