Persamaan Garis Singgung Lingkaran

1. Persamaan garis singgung lingkaran di titik P(x₁, y₁) pada lingkaran yang berpusat di O(0, 0)

Gradien garis OP adalah y₁/x₁. Karena garis singgung tegak lurus dengan jari-jari lingkaran, gradien garis singgungnya adalah m = –x₁/y₁. Persamaan garis melalui P(x₁, y₁) dengan gradien m = –x₁/y₁ adalah:

y – y₁ = –x₁/y₁(x – x₁)

yy₁ – y₁² = –xx₁ + x₁²

yy₁ + xx₁ = x₁² + y₁² ,karena P terletak pada lingkaran, berlaku:

xx₁ + yy₁ = r²

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran melalui titik P(x₁, y₁) yang terletak pada lingkaran yang berpusat di O(0, 0) adalah xx₁ + yy₁ = r².

2. Persamaan garis singgung lingkaran di titik P(x₁, y₁) pada lingkaran yang berpusat di M(a, b)

Ingat kembali pergeseran sumbu, misal sumbu awal yang berpusat di O(0, 0) digeser ke M(a, b), koordinat baru untuk titik P adalah P'(x₁', y₁'), dengan x₁' = x₁ – a, y₁' = y₁ – b, sehingga persamaan garis singgung barunya adalah:

x'x₁' + y'y₁' = r², nilai r tetap karena hanya menggeser tanpa mengubah ukuran.

Substitusikan kembali koordinatnya:

(x – a)(x₁ – a) + (y – b)(y₁ – b) = r²

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran melalui titik P(x₁, y₁) yang terletak pada lingkaran yang berpusat di M(a, b) adalah (x – a)(x₁ – a) + (y – b)(y₁ – b) = r².

Persamaan garis singgung lingkaran dalam bentuk ABC:

Misalkan suatu lingkaran dalam bentuk x² + y² + Ax + By + C = 0, pusatnya adalah (–½A, –½B), dan kuadrat jari-jarinya adalah r² = ¼A² + ¼B² – C, substitusikan ke persamaan sebelumnya:

(x – a)(x₁ – a) + (y – b)(y₁ – b) = r²

(x + ½A)(x₁ + ½A) + (y + ½B)(y₁ + ½B) = ¼A² + ¼B² – C

xx₁ + ½A(x + x₁) + ¼A² + yy₁ + ½B(y + y₁) + ¼B² = ¼A² + ¼B² – C

xx₁ + ½A(x + x₁) + yy₁ + ½B(y + y₁) + C = 0

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0 melalui titik P(x₁, y₁) yang terletak pada lingkaran adalah xx₁ + ½A(x + x₁) + yy₁ + ½B(y + y₁) + C = 0.

3. Persamaan garis singgung lingkaran berpusat di O(0, 0) dengan gradien m

Misalkan persamaan garis y = mx + n dipotongkan pada lingkaran x² + y² = r², sehingga didapatkan persamaan:

x² + (mx + n)² = r²

x² + m²x² + 2mxn + n² – r²  = 0

(1 + m²)x² + 2mxn + n² – r²  = 0

a = 1 + m², b = 2mn, c = n² – r²

Agar berpotongan pada satu titik diharuskan D = 0

b² – 4ac = 0

(2mn)² – 4(1 + m²)(n² – r²) = 0

4m²n² – 4n² + 4r² – 4m²n² + 4m²r² = 0

–n² + r² + m²r² = 0

n² = r² + m²r²

n² = r²(1 + m²)

Substitusikan n ke y = mx + n

4. Persamaan garis singgung lingkaran berpusat di M(a, b) dengan gradien m

Ingat kembali pergeseran sumbu, misal sumbu awal yang berpusat di O(0, 0) digeser ke M(a, b), koordinat baru untuk titik P adalah P'(x₁', y₁'), dengan x₁' = x₁ – a, y₁' = y₁ – b, sehingga persamaan garis singgung barunya adalah:

Nilai r dan m tetap karena hanya pergeseran tanpa perubahan ukuran dan gradien.

Sedangkan untuk lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0, persamaan garis singgungnya adalah:

5. Persamaan garis singgung lingkaran berpusat di O(0, 0) dari titik P(x₁, y₁) di luar lingkaran

Misal titik P(x₁, y₁) di luar lingkaran, dan titik Q(a, b) terletak pada lingkaran, berlaku:

Persamaan garis singgung di titik Q adalah ax + by = r², dan dikarenakan garis tersebut melalui P(x₁, y₁) sehingga dipenuhi ax₁ + by₁ = r² (i)

Titik Q terletak pada lingkaran sehingga berlaku a² + b² = r² (ii)

Dapatkan nilai b pada (i), lakukan substitusi ke (ii), akan didapatkan suatu persamaan kuadrat, sehingga diperoleh 2 nilai a. Untuk memperoleh b, substitusikan a ke (i). Langkah terakhir buat persamaan garis lurus melalui (a, b) dan (x₁, y₁).

contoh:

Tentukan garis singgung lingkaran x² + y² = 4 dari titik P(4, 2)!

Persamaan garis singgung dari titik P(4, 2) adalah:

4a + 2b = 4

2b = 4 - 4a

b = (4 - 4a)/2

b = 2 - 2a (i)

Karena titik Q(a, b) terletak pada lingkaran, berlaku a² + b² = 4 (ii)

Substitusikan nilai b pada (i) ke (ii)

a² + (2 - 2a)² = 4

a² + 4 - 8a + 4a² = 4

5a² - 8a = 0

a(5a - 8) = 0

a = 0 ∨ a = 8/5

Substitusikan a ke (i)

Untuk a = 0:

4a + 2b = 4

0 + 2b = 4

b = 2

Persamaan garis lurus melalui (0, 2) dan (4, 2) adalah y = 2.

Untuk a = 8/5:

4a + 2b = 4

4.8/5 + 2b = 4

2b = 4 - 32/5

2b = -12/5

b = -6/5

Persamaan garis lurus melalui (8/5, -6/5) dan (4, 2) adalah:

Jadi, persamaan garis yang menyinggung lingkaran x² + y² = 4 dari titik P(4, 2) adalah y = 2 ∨ y = 4/3x - 10/3

6. Persamaan garis singgung lingkaran berpusat di M(a, b) dari titik P(x₁, y₁) di luar lingkaran

Misal titik P(x₁, y₁) di luar lingkaran, dan titik Q(e, f) terletak pada lingkaran yang berpusat di M(a, b), berlaku:

Persamaan garis singgung di titik Q adalah (e - a)(x - a) + (f - b)(y - b) = r², dan dikarenakan garis tersebut melalui P(x₁, y₁) sehingga dipenuhi (e - a)(x₁ - a) + (f - b)(y₁ - b) = r² (i)

Titik Q terletak pada lingkaran sehingga berlaku (e - a)² + (f - b)² = r² (ii)

Dapatkan nilai f pada (i), lakukan substitusi ke (ii), akan didapatkan suatu persamaan kuadrat, sehingga diperoleh 2 nilai e. Untuk memperoleh f, substitusikan e ke (i). Langkah terakhir buat persamaan garis lurus melalui (e, f) dan (x₁, y₁).

Tentukan garis singgung lingkaran (x - 3)² + (y - 2)² = 25 dari titik P(10, 3)

Pusat dari lingkaran (x - 3)² + (y - 2)² = 25 adalah (3, 2)

Persamaan garis singgung dari titik P(10, 3) adalah:

(10 - 3)(e - 3) + (3 - 2)(f - 2) = 25

7e - 21 + f - 2 = 25

f = 48 - 7e (i)

Karena titik Q(e, f) pada lingkaran berlaku (e - 3)² + (f - 2)² = 25 (ii)

Substitusikan nilai f pada (i) ke (ii)

(e - 3)² + (46 - 7e)² = 25

e² - 6e + 9 + 49e² - 644e + 2116 - 25 = 0

50e² - 650e + 2100 = 0

e² - 13e + 42 = 0

(e - 6)(e - 7) = 0

e = 6 ∨ e = 7

Substitusikan e ke (i)

Untuk e = 6:

f = 48 - 7e

f = 48 - 42

f = 6

Persamaan garis lurus melalui (6, 6) dan (10, 3)

(y - 6)/(3 - 6) = (x - 6)/(10 - 6)

(y - 6)/(-3) = (x - 6)/4

4(y - 6) = -3(x - 6)

4y - 24 = -3x + 18

3x + 4y = 42

Untuk e = 7:

f = 48 - 7e

f = 48 - 49

f = -1

Persamaan garis lurus melalui (7, -1) dan (10, 3)

(y + 1)/(3 + 1) = (x - 7)/(10 - 7)

(y + 1)/4 = (x - 7)/3

4(x - 7) = 3(y + 1)

4x - 28 = 3y + 3

4x - 3y = 31

Jadi, persamaan garis yang menyinggung lingkaran (x - 3)² + (y - 2)² = 25 dari titik P(10, 3) adalah 3x + 4y = 42 ∨ 4x - 3y = 31.

Untuk bentuk ABC, garis singgung lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0 dari titik P(x₁, y₁) diluar lingkaran berlaku:

Persamaan garis singgung di titik Q adalah (e + ½A)(x + ½A) + (f + ½B)(y + ½B) = ¼A² + ¼B² – C, dan dikarenakan garis tersebut melalui P(x₁, y₁) sehingga dipenuhi (e + ½A)(x₁ + ½A) + (f + ½B)(y₁ + ½B) = ¼A² + ¼B² – C (i)

Titik Q terletak pada lingkaran sehingga berlaku (e + ½A)² + (f + ½B)² = ¼A² + ¼B² – C (ii)

Dapatkan nilai f pada (i), lakukan substitusi ke (ii), akan didapatkan suatu persamaan kuadrat, sehingga diperoleh 2 nilai e. Untuk memperoleh f, substitusikan e ke (i). Langkah terakhir buat persamaan garis lurus melalui (e, f) dan (x₁, y₁).