Persamaan Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak (jari-jari) sama terhadap titik (pusat) tertentu. Titik tertentu disebut pusat dan jarak tertentu dinamakan panjang jari-jari.

Titik P disebut pusat, sedangkan Jarak P ke lingkaran dinamakan jari-jari.

Lingkaran merupakan salah satu irisan kerucut. Maksudnya jika suatu kerucut dipotong oleh bidang datar yang tegak lurus sumbunya maka dihasilkan bidang yang disebut lingkaran.

A. Persamaan Lingkaran Berpusat di O(0, 0)

Misalkan titik pusat O(0,0), dan sebuah titik P(x₀, y₀) pada lingkaran. Misal jarak dari O ke P adalah r, berlaku:

x² + y² = r², sebagaimana rumus jarak antara dua titik, hanya saja berputar.

r adalah panjang jari-jari lingkaran.

B. Persamaan Lingkaran Berpusat di (a, b)

Persamaan lingkaran berpusat di M(a, b) dengan jari-jari r adalah:
(x – a)² + (y – b)² = r², berdasarkan rumus jarak antara dua titik (dengan perputaran).

Bentuk persamaan (x – a)² + (y – b)² = r² dapat diuraikan menjadi:

x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² = r²

x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0

Misal A = –2a, B = –2b, dan C = a² + b² – r², kita dapat mengubah bentuk persamaan menjadi:

x² + y² + Ax + By + C = 0

Untuk menentukan pusat dan jari-jarinya dapat dilakukan substitusi:

Jika A, B, C bilangan real, maka pusat lingkaran merupakan bilangan real. Akan jari-jari menyesuaikan dengan kuadratnya.

Kuadrat jari-jari: r² = ¼A² + ¼B² – C, keadaan jari-jari lingkaran berdasarkan kuadratnya:

¼A² + ¼B² – C > 0, jari-jari real tak nol

¼A² + ¼B² – C = 0, jari-jari nol, disebut juga lingkaran titik

¼A² + ¼B² – C < 0, jari-jari imajiner

Persamaan lingkaran titik berbentuk:

Jadi lingkaran nol, jika pada bidang kompleks berubah menjadi sebuah garis isotroop yang melalui titik pusatnya.

C. Persamaan Lingkaran Melalui Tiga Titik

Melalui tiga titik yang tidak kolinier dapat dibuat tepat satu lingkaran, sebagaimana lingkaran luar segitiga.

Misal diberikan tiga titik P(a, b), Q(c, d), dan R(e, f). Substitusikan ke x² + y² + Ax + By + C = 0

P: a² + b² + Aa + Bb + C = 0

Q: c² + d² + Ac + Bd + C = 0

R: e² + f² + Ae + Bf + C = 0

A, B, dan C dapat ditentukan dengan persamaan linear tiga variabel:

Aa + Bb + C = –(a² + b²)    (i)

Ac + Bd + C = –(c² + d²)    (ii)

Ae + Bf + C = –(e² + f²)     (iii)

Bisa juga dengan determinan matriks:

Setelah didapatkan nilai A, B, C dapat disubstitusikan ke x² + y² + Ax + By + C = 0.

Ada juga cara lain langsung pakai determinan besar:

Hanya saja determinan besar ini memang lebih sulit.