Sudut Garis dan Bidang

A. Sudut Nol

1. Sudut garis terletak pada bidang adalah nol

2. Sudut garis sejajar bidang adalah nol

3. Sudut dua bidang berhimpit adalah nol

4. Sudut dua bidang sejajar adalah nol

B. Sudut Garis Memotong Bidang

Definisi: Sudut antara garis dan bidang adalah sudut lancip antara garis tersebut dengan garis proyeksinya pada bidang yang bersangkutan.

Teorema: Sudut antara garis dan bidang adalah sudut terkecil yang dibuat oleh garis tersebut dengan garis yang terletak pada bidang itu.

Tambahan: Misal diberikan dua garis g dan h yang mana keduanya sejajar. Misal sudut antara garis g dan bidang f adalah α, sudut garis h dan bidang f juga α.

contoh:

Diberikan kubus ABCD.EFGH, dengan titik P pada pertengahan AB, dan titik Q pada pertengahan AE. Tentukan sudut antara PQ dengan bidang BDG!

Kita dapat melakukan proyeksi langsung garis PQ pada bidang BDG.

Misal garis PQ memotong bidang BDG di R, proyeksikan titik P pada bidang BDG. Sudut antara PQ dan BDG sama dengan ∠PRP'. Permasalahannya adalah cara ini terkesan sulit, dikarenakan titik R dan P' keduanya di bawah bidang ABCD.

Alternatif solusi: Buat garis lain yang sejajar dengan PQ, misal BE. Jelas bahwa garis BE memotong bidang BDG pada titik B. Garis proyeksi titik E ke bidang BDG tembus sampai titik C.

Buat garis melalui titik B dan E'

Misal O pertengahan AC, titik E' terletak pada garis OG.

Mari kita preteli persegi panjang ACGE

(i) ∠COE' = ∠EGE' karena dalam berseberangan

(ii) ∠OCE' = ∠GEE' karena dalam berseberangan

(iii) ∠CE'O = ∠GE'E karena bertolak belakang

∴ ∆CE'O ~ ∆GE'E, dari kesebangunannya diperoleh perbandingan EE':CE' = 2:1

Selanjutnya mari kita preteli segitiga BE'E siku-siku di E'

Misal panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah s, kita dapat mencari besar sudut EBE' berdasarkan sinusnya:

Sudut antara PQ dan BDG sama dengan sudut EBE', yaitu 54,74°.

C. Sudut Antara Dua Bidang

Definisi: Bangun geometri yang dibentuk oleh garis potong dua bidang dan bersama dengan bidang-bidang itu sendiri disebut sudut ruang.

Teorema: Garis l terletak pada bidang v. Jika l tegak lurus pada bidang w maka v tegak lurus w.

Masih terkesan abstrak? berikut ilustrasi tentang sudut antara dua bidang:

Sudut antara bidang α dan bidang β adalah sudut antara garis g dan h, dimana g ⊥ (α, β) dan h ⊥ (α, β).

(α, β) garis potong bidang α dan β.

contoh:

Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan titik P pada pertengahan BC, Q pada pertengahan CG, R pada pertengahan BC. Tentukan sudut antara bidang PQR dengan BCGF!

Untuk menentukan sudut antara PQR dengan BCGF, terlebih dahulu tentukan garis perpotongannya. Bidang PQR dan BCGF berpotongan pada garis PQ.

Pilih satu titik pada garis PQ, misal titik S pertengahan segmen PQ.

Pada bidang PQR buat garis tegak lurus PQ, yaitu RS. Mengapa RS tegak lurus PQ? karena panjang segmen PR = QR, sedangkan S pertengahan PQ, sehingga RS tegak lurus PQ.

Pada bidang BCGF buat garis tegak lurus PQ, yaitu FS. Mengapa FS tegak lurus PQ? karena panjang segmen FP = FQ, sedangkan S pertengahan PQ, sehingga FS tegak lurus PQ.

Selanjutnya mari kita preteli segitiga FSR, misal panjang rusuk kubus adalah x, kita tentukan panjang sisi-sisinya sebagai berikut:

Dengan menggunakan aturan kosinus, dapat ditentukan sudut FSR

Sudut antara bidang PQR dengan BCGF sama dengan sudut FSR, yaitu 125,26°. Akan tetapi sudut ini merupakan sudut tumpul, sehingga sudut yang dipilih adalah suplemennya, yaitu 54,74° yang merupakan sudut lancip.