Volume Tetrahedron (Rumus Cayley-Menger)

Selain rumus luas segitiga, ada juga rumus volume tetrahedron menggunakan rumus Cayley-Menger yang ditemukan oleh Arthur Cayley dan Karl Menger.

Perhatikan gambar berikut:

Misal diberikan suatu tetrahedron dengan rusuk-rusuknya U, V, W, u, v, w dengan rusuk-rusuk yang berhadapan (U, u), (V, v), (W, w), rusuk-rusuk alas disimbolkan dengan huruf besar, sedangkan rusuk-rusuk tegak disimbolkan dengan huruf kecil.

Misalkan:

u' = v² + w² – U²

v' = u² + w² – V²

w' = u² + v² – W²

Selanjutnya misalkan:

u'' = (u × u')²

v'' = (v × v')²

w'' = (w × w')²

Π = (u × v × w)²

Π' = u' × v' × w'

Volumenya adalah:

Contoh soal dan pembahasan

Diberikan balok ABCD.EFGH dengan AB = 4, BC = 5, AE = 3. P, M, N merupakan titik tengah AE, EF, EH. Tentukan jarak antara bidang PMN dan BDG!

Pilih satu titik pada bidang PMN, proyeksikan pada bidang BDG. Pada kasus ini, proyeksinya tidak tepat pada garis istimewa, sehingga tidak dapat menentukan panjang proyeksi dengan mudah.

Tapi tenang saja sixtyfourians, kali ini Minfor berikan tutor untuk menentukan panjang proyeksi dengan menghitung tinggi tetrahedron, panjang proyeksi sama dengan tinggi tetrahedron M.BDG dari titik M.

Mula-mula mari kita tentukan panjang rusuk-rusuknya:

Rusuk-rusuk yang berhadapan adalah BD berhadapan dengan GM, BG berhadapan dengan DM, dan DG berhadapan dengan BM.

Misal BD = U, GM = u, BG = V, DM = v, DG = W, BM = w.

u' = v² + w² – U² = 38 + 13 – 41 = 10

v' = u² + w² – V² = 29 + 13 – 34 = 8

w' = u² + v² – W² = 29 + 38 – 25 = 42

Selanjutnya:

u'' = (u × u')² = 29 × 100 = 2900

v'' = (v × v')² = 38 × 64 = 2432

w'' = (w × w')² = 13 × 1764 = 22932

Π = (u × v × w)² = 29 × 38 × 13 = 14326

Π' = u' × v' × w' = 10 × 8 × 42 = 3360

Volume dari tetrahedron tersebut adalah 15 satuan. Selanjutnya mari kita tentukan luas alasnya, yaitu segitiga BDG:

Telah diperoleh volume dan luas alas, dengannya kita dapat menentukan tinggi tetrahedron:

Jarak bidang PMN ke BDG sama dengan panjang proyeksi |MM'|, yaitu 3,245 satuan.