Hubungan Invers Matriks dengan Sistem Persamaan Linear

1. Solvabilitas Sistem Persamaan Linear

Teorema: "Sistem persamaan linear bisa jadi tidak memiliki solusi, memiliki tepat satu solusi, atau memiliki tak hingga solusi".

Sebagaimana telah kita ketahui bahwa SPL bisa jadi tidak memiliki solusi, bisa juga memiliki solusi. Pertanyaannya adalah mengapa SPL yang memiliki solusi hanya dua kemungkinan: memiliki tepat satu solusi atau memiliki tak hingga solusi? mengapa tidak ada kemungkinan selain tepat satu dan tak hingga? untuk menjawabnya, mari kita buktikan teorema ini:

Misal Ax = b memiliki lebih dari satu solusi, misal x₀ = x₁ – x₂, dimana x₁ dan x₂ merupakan dua solusi berbeda dari Ax = b. Karena x₁ ≠ x₂, akibatnya x₀ ≠ 0, sehingga berlaku:

Ax₀ = A(x₁ – x₂) = Ax₁ – Ax₂ = b – b = 0

Misal k sebarang skalar, berlaku:

A(x₁ + kx₀) = Ax₁ + A(kx₀) = Ax₁ + k.Ax₀ = b + k.0 = b + 0 = b

ternyata x₁ + kx₀ juga merupakan solusi dari Ax = b. Dikarenakan x₀ ≠ 0 dan k bernilai sebarang (terdapat tak hingga nilai k), akibatnya Ax = b memiliki tak hingga solusi. ∎

2. Menyelesaikan SPL Menggunakan Invers Matriks

Teorema: “Jika A matriks yang dapat dibalik berukuran n × n, maka untuk setiap matriks b berukuran n × 1, SPL Ax = b memiliki tepat satu solusi yaitu x = A^-1b ”. Bukti:

Dikarenakan A(A^-1b) = b, tentunya x = A^-1b merupakan solusi dari Ax = b. Untuk menunjukkan bahwa tepat satu solusi, anggap x₀ sebagai sebarang solusi, dan tunjukkan bahwa x₀ = A^-1b.

Jika x₀ sebarang solusi, maka Ax₀ = b, kalikan masing-masing ruas dengan A^-1 diperoleh x₀ = A^-1b ∎

contoh:

x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 5

2x₁ + 5x₂ + 3x₃ = 3

x₁ + 0x₂ + 8x₃ = 17

dalam bentuk Ax = b:

invers dari A adalah:

sehingga solusinya adalah:

x₁ = 1, x₂ = –1, x₃ = 2

3. Invertibilitas Hasil Kali Matriks

Teorema: “Misal A dan B matriks persegi berukuran sama, AB memiliki invers jika dan hanya jika A dan B memiliki invers”. Bukti:

(i) Jika AB memiliki invers maka A dan B memiliki invers

Kontraposisi dari pernyataan ini adalah jika A atau B tidak memiliki invers maka AB tidak memiliki invers.

A atau B tidak memiliki invers. Apabila dilakukan OBE, akan ada baris nol, sehingga berakibat hasil kalinya juga memiliki baris nol. Jika OBE yang sama dilakukan pada AB juga akan ada baris nol, yang artinya AB juga tidak memiliki invers.

(ii) Jika A dan B memiliki invers maka AB memiliki invers

A atau B memiliki invers berarti A^-1A = I dan B^-1B = I

A^-1(AB) = (A^-1A)B = IB = B

B^-1A^-1(AB) = B^-1(A^-1A)B = B^-1(IB) = B^-1B = I yang artinya AB memiliki invers.

∎

4. Menentukan Syarat Konsistensi

Suatu SPL Ax = b dengan A tidak memiliki invers, agar memiliki solusi disyaratkan setelah dilakukan OBE, baris pada matriks b yang bertepatan dengan baris nol pada matriks a harus bernilai nol.

contoh:

Tentukan syarat untuk b₁, b₂, b₃, agar SPL berikut memiliki solusi:

x₁ + x₂ + 2x₃ = b₁

x₁ + 0x₂ + x₃ = b₂

2x₁ + x₂ + 3x₃ = b₃

Dalam bentuk matriks augmentasi:

Setelah dilakukan OBE, terdapat baris nol. Agar SPL memiliki solusi, diharuskan konstantanya juga nol. Diharuskan b₃ – b₂ – b₁ = 0, boleh juga ditulis b₃ = b₁ + b₂ untuk sebarang nilai b₁ dan b₂, agar SPL memiliki solusi.

5. Solvabilitas SPL dengan Matriks yang Tidak Memiliki Invers

Matriks yang tidak memiliki invers apabila dilakukan OBE akan didapati baris nol.

a) Jika konstanta pada baris nol tidak sama dengan nol, maka SPL tidak memiliki solusi.

Mengapa demikian? karena mustahil ada x₁, x₂, …, x_n yang memenuhi 0x₁ + 0x₂ + … + 0x_n = b dengan b ≠ 0.

b) Jika konstanta pada baris nol sama dengan nol, maka SPL memiliki tak hingga solusi.

Mengapa demikian? karena terdapat tak hingga ada x₁, x₂, …, x_n yang memenuhi 0x₁ + 0x₂ + … + 0x_n = 0.