Luas Irisan Bidang dengan Bangun Ruang

Perhatikan gambar berikut:

Diketahui sebuah balok ABCD.EFGH dengan AB = BC = 4 cm dan AE = 6 cm. Jika P dan Q adalah terletak pada pertengahan AE dan AB, R pada CG sehingga RG : RC = 1 : 2 maka gambarkan bidang irisan antara balok ABCD.EFGH dengan bidang yang melalui PQR dan tentukan luasnya!

A. Irisan

(i) Buat garis PQ, buat garis melalui FB, berpotongan di K

(ii) Buat garis KR, memotong BC di S, buat garis FG, KR dan FG berpotongan di L

(iii) Buat garis FE, PQ dan FE berpotongan di M

(iv) Buat garis LM, memotong GH di T dan memotong FH di U. PQSRTU merupakan irisan bidang PQR dengan balok ABCD.EFGH

B. Luas

Bagaimana menentukan luas PQSRTU? ada berbagai cara diantaranya:

[PQSRTU] = [KLM] - [KQS] - [LRT] - [MPU]

Untuk menentukan luas masing-masing segitiga, diperlukan menentukan panjang sisi-sisi tertentu.

Perhatikan segitiga EPM dan APQ

• ∠EPM = ∠APQ karena bertolak belakang

• |AP| = |EP| karena P tepat pada pertengahan AE

• ∠PLM = ∠PAQ karena siku-siku

∴ ∆EPM ≅ ∆APQ, dari kekongruenannya diperoleh EM = AQ = 2cm

Sehingga FM = EM + EF = 2 + 4 = 6cm

Perhatikan segitiga AQP dan KQB

• ∠AQP = ∠KQB karena bertolak belakang

• |AQ| = |BQ| karena Q tepat pada pertengahan AB

• ∠PAQ = ∠KBQ karena siku-siku

∴ ∆AQP ≅ ∆KQB, dari kekongruenannya diperoleh AP = BK = 3cm

Sehingga FK = BK + BF = 3 + 6 = 9cm

Telah diperoleh panjang FM dan FK, dan FM ⊥ FK, dengan rumus Pythagoras, dapat ditentukan KM:

Perhatikan segitiga BSK dan CSR

• ∠BSK = ∠CSR karena bertolak belakang

• ∠SBK = ∠SCR karena siku-siku

∴ ∆BSK ~ ∆CSR, dari kesebangunannya diperoleh perbandingan BS:SC = BK:CR = 3:4

Perbandingan ini dapat digunakan untuk menentukan BS

selanjutnya, perhatikan segitiga BSK dan FLK

• ∠KBS = ∠KFL karena siku-siku

• ∠BKS = ∠FKL karena berhimpit

∴ ∆BSK ~ ∆FLK, dari kesebangunannya diperoleh perbandingan BK:BS = FK:FL

Telah diperoleh panjang FL, dapat ditentukan panjang KL dan LM

Telah diperoleh panjang KM, KL, LM, dapat ditentukan luas KLM

Selanjutnya tentukan luas KQS, LRT, MPU

ABCD//EFGH, akibatnya (ABCD, PQR)//(EFGH, PQR). Dengan kata lain QS//UT

Perhatikan segitiga KLM dan KSQ

• ∠MKL = ∠QKS karena berhimpit

• ∠KLM = ∠KSQ karena sehadap

∴ ∆KLM ~ ∆KSQ

Dikarenakan sebangun, perbandingan luas sama dengan kuadrat perbandingan panjang sisi

Dengan melakukan cara yang sama, akan diperoleh perbandingan luas sebagai berikut:

Finally, dapat ditentukan luas PQSRTU