Matriks Diagonal, Matriks Segitiga, Matriks Simetrik

1. Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen-elemen selain diagonal utama nol. Dapat dinotasikan (∀ij).i ≠ j → d_ij = 0

Secara umum dinyatakan sebagai berikut:

a. Invers matriks diagonal

Mudah untuk menentukan invers dari matriks diagonal, yaitu:

matriks diagonal memiliki invers jika dan hanya jika elemen-elemen pada diagonal utama tidak ada yang sama dengan nol. Karena adanya elemen nol pada diagonal utama mengakibatkan adanya baris nol (dan kolom nol) yang artinya tidak memiliki invers.

Invers dari matriks diagonal dengan membalik (1 dibagi) masing-masing elemen pada diagonal utama.

b. Perpangkatan matriks diagonal

Mudah untuk memangkatkan matriks diagonal, yaitu:

Matriks diagonal dipangkatkan k, dengan memangkatkan masing-masing elemen pada diagonal utama dengan k.

c. Perkalian dengan matriks diagonal

Perkalian matriks dengan matriks diagonal D di sebelah kiri dan A di sebelah kanan menghasilkan perkalian elemen-elemen matriks D dengan elemen matriks A sesuai indeks baris.

Perkalian matriks dengan matriks diagonal D di sebelah kanan dan B di sebelah kiri menghasilkan perkalian elemen-elemen matriks diagonal D dengan elemen matriks B sesuai indeks kolom.

2. Matriks Segitiga

Terdapat dua macam matriks segitiga, yaitu matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah. 

Matriks segitiga atas adalah matriks dengan elemen-elemen di bawah diagonal utama sama dengan nol. 

Matriks segitiga bawah adalah matriks dengan elemen-elemen di atas diagonal utama sama dengan nol. Berikut gambaran bentuk umum matriks segitiga:

Matriks A merupakan bentuk umum matriks segitiga atas, sedangkan matriks B merupakan bentuk umum matriks segitiga bawah.
• Matriks segitiga atas A berlaku (∀ij).i > j → a_ij = 0

• Matriks segitiga bawah B berlaku berlaku (∀ij).i < j → b_ij = 0

Sifat-sifat matriks segitiga

a) Transpos matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dan transpos matriks segitiga atas adalah matriks segitiga bawah.

b) Hasil kali dari matriks-matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan hasil kali dari matriks-matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.

c) Suatu matriks segitiga dapat dibalik jika dan hanya jika entri-entri pada diagonalnya semuanya bilangan taknol.

d) Invers dari matriks segitiga bawah yang dapat dibalik adalah matriks segitiga bawah, dan invers dari matriks segitiga atas yang dapat dibalik adalah matriks segitiga atas.

3. Matriks Simetrik

Matriks simetrik adalah matriks persegi dimana elemen a_ij = a_ji untuk semua i dan j. Dengan kata lain matriks simetrik adalah matriks yang transpose nya sama dengannya.

contoh:

	1	2	4
	2	3	6
	4	6	5

Sifat-sifat matriks simetrik:

Misal A dan B matriks simetrik, dan k sebarang skalar, berlaku:

• A^T simetrik.

Jelas karena A^T = A yang merupakan matriks simetrik.

• A + B dan A - B simetrik.

Elemen yang sama ditambah elemen yang sama hasilnya elemen yang sama. Begitu juga elemen yang sama dikurangi elemen yang sama hasilnya elemen yang sama.

• kA simetrik.

Elemen yang sama dikalikan skalar yang sama hasilnya elemen yang sama.

• A^-1 simetrik.

(A^-1)^T = (A^T)^-1 = A^-1.

Catatan: Hasil kali dua matriks simetrik tidak simetrik, sebagaimana pada kasus ini AB tidak simetrik. Dikarenakan A simetrik dan B simetrik, transpose AB adalah:

(AB)^T = B^TA^T = BA

Dikarenakan biasanya AB ≠ BA, akibatnya AB tidak simetrik. Kecuali pada kasus tertentu dimana AB = BA, yang mana disebut sebagai "komut".

4. Sifat-Sifat Hasil Kali Matriks dengan Transpose nya

Misal A sebarang matriks berukuran m × n, tentunya A^T berukuran n × m. Apabila suatu matriks dikalikan dengan transposenya, akan menghasilkan matriks persegi. Perhatikan:

• AA^T berukuran m × m, sedangkan A^TA berukuran n × n.

• AA^T dan A^TA simetrik.

(AA^T)^T = (A^T)^T.A^T = AA^T, dan (A^TA)^T = A^T(A^T)^T = A^TA

• Misal A invertibel, AA^T dan A^TA juga invertibel

• tr(AA^T) = tr(A^TA), bukti:

∴ Jadi, tr(AA^T) = tr(A^TA) = sumsq(a ∈ A) ∎

Tonton video:

Video ini disusun oleh Shifa Najwa Apriliana, Vernanda Kisty Faradilla, Winandita Amelia Douryat, dan Muadz.