Operasi dan Panjang Vektor

1. Sifat-Sifat Operasi Vektor

Misal u, v, w merupakan vektor, dan k, l merupakan skalar, berlaku sifat-sifat operasi berikut:

a) Sifat komutatif

u + v = v + u

b) Sifat asosiatif penjumlahan vektor

(u + v) + w = u + (v + w) = u + v + w

c) Sifat identitas penjumlahan vektor

u + 0 = 0 + u = u

d) Sifat negatif

u + (−u) = 0

e) Sifat asosiatif perkalian skalar

k(lu) = (kl)u

f) Sifat distributif terhadap jumlah vektor

k(u + v) = ku + kv

g) Sifat distributif terhadap jumlah skalar

(k + l)u = ku + lu

h) Sifat identitas perkalian skalar

1u = u

Perhatikan gambar berikut:

Secara geometris, penjumlahan vektor dengan atau tanpa pengelompokan hasilnya sama.

2. Panjang (Norm) Vektor

Panjang suatu vektor u, biasa disebut norm u, ditulis ‖𝑢‖. Panjang dari vektor komponen dapat ditentukan menggunakan rumus Pythagoras. Perhatikan gambar berikut:

Misal suatu vektor pada R2 dinyatakan u = (u₁, u₂), panjang dari u adalah:

Begitu juga dengan vektor pada R3 yang dinyatakan u = (u₁, u₂, u₃), panjang dari u adalah:

catatan: Suatu vektor yang panjangnya sama dengan 1 disebut vektor satuan.

Perhatikan gambar berikut:

Misal suatu vektor berpangkal di P₁(x₁, y₁, z₁) dan berujung di P₂(x₂, y₂, z₂).

Panjang vektor sama dengan jarak antara dua titik.

3. Panjang Hasil Kali Skalar dengan Vektor

Panjang hasil kali skalar k dengan vektor u, ditulis ‖ku‖, adalah:

‖ku‖ = |k|‖u‖

Panjang hasil kali skalar k dengan vektor u adalah |k| kali panjang ‖u‖, adapun arahnya tergantung nilai dari skalar k, yaitu:

• ku searah dengan u, untuk k > 0

• ku berlawanan arah dengan u, untuk k < 0

• ku = 0 untuk k = 0 ∨ u = 0