Perkalian Silang Vektor

1. Perkalian Silang Vektor

Misal u = (u₁, u₂, u₃) dan v = (v₁, v₂, v₃) merupakan vektor-vektor dalam dimensi tiga. Perkalian silang keduanya, ditulis u × v, adalah vektor yang didefinisikan sebagai:

u × v = (u₂v₃ − u₃v₂, u₃v₁ − u₁v₃, u₁v₂ − u₂v₁)

dapat dinotasikan juga dalam determinan

untuk mempermudah mengingatnya, bisa juga dengan matriks berukuran 2 × 3:

untuk menentukan komponennya, hapus kolom yang bertepatan dengannya, khusus komponen kedua tandanya dilawankan, INGAT kembali kofaktor.

Catatan:

Hasil kali silang vektor merupakan vektor, berbeda dengan hasil kali titik yang merupakan skalar.

2. Sifat-Sifat Perkalian Silang Vektor

Misal u, v, w merupakan vektor dalam R3, berlaku sifat-sifat perkalian silang:

a) Sifat Ortogonal

u ∙ (u × v) = 0

v ∙ (u × v) = 0

Hasil kali silang dua vektor ortogonal terhadap kedua vektor tersebut.

b) Identitas Lagrange

Perhatikan uraian berikut:

c) Hubungan antara perkalian silang dengan perkalian titik

u × (v × w) = (u ∙ w)v − (u ∙ v)w

(u × v) × w = (u ∙ w)v − (v ∙ w)u

3. Sifat-Sifat Aritmatik Perkalian Silang Vektor

Misal u, v, w merupakan vektor dalam R3, dan k sebarang skalar, berlaku sifat-sifat perkalian silang:

a) Sifat Berlawanan Tanda

u × v = −(v × u)

b) Sifat Distributif

u × (v + w) = u × v + u × w

(u + v) × w = u × w + v × w

c) Sifat Skalar

k(u × v) = (ku) × v = u × (kv)

d) Sifat Nol

u × 0 = 0 × u = 0

u × u = 0

4. Vektor Satuan Standar

Tinjau vektor i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1). Masing-masing memiliki panjang 1 dan terletak pada sumbu koordinat, disebut sebagai vektor satuan standar dalam dimensi tiga. Setiap vektor v = (v₁, v₂, v₃) dalam dimensi tiga dapat dinyatakan dalam i, j, k, sebagaimana berikut:

v = (v₁, v₂, v₃) = v₁(1, 0, 0) + v₂(0, 1, 0) + v₃(0, 0, 1) = v₁i + v₂j + v₃k

Hasil kali silang vektor satuan standar

i × i = j × j = k × k = 0

i × j = k,    j × k = i,    k × i = j

j × i = −k,    k × j = −i,    i × k = −j

Hasil kali titik vektor satuan standar

i ∙ i = j ∙ j = k ∙ k = 1

i ∙ j = j ∙ i = j ∙ k = k ∙ j = k ∙ i = i ∙ k = 0

5. Perkalian Silang dalam Determinan

Perkalian silang vektor dapat ditulis dalam bentuk determinan matriks:

6. Aturan Tangan Kanan

Kita tahu bahwa u × v ortogonal terhadap u dan v. Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol, dapat ditunjukkan bahwa arah u × v dapat ditentukan dengan menggunakan "aturan tangan kanan" berikut ini:

Misal θ adalah sudut antara u dan v, dan anggap u diputar dengan sudut θ sampai berimpitan dengan v. Jika jari-jari tangan kanan ditekuk sehingga menunjuk arah putaran, maka ibu jari menunjukkan (kira-kira) arah u × v.

7. Luas Jajargenjang

Ingat kembali identitas Lagrange:

identitas Lagrange ini digunakan untuk menentukan panjang dari hasil kali silang vektor.

Uraikan identitas Lagrange:

‖u × v‖ = ‖u‖ ‖v‖ sin⁡𝜃

dikarenakan 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋, sin⁡𝜃 tidak mungkin negatif sehingga tidak perlu tanda mutlak.

Perhatikan gambar berikut:

Misalkan sebuah jajargenjang memiliki alas dengan panjang ‖u‖, sisi sampingnya ‖v‖, dan sudut antara alas dengan sisi samping adalah 𝜃. Hasil kali ‖v‖ sin⁡𝜃 sama dengan tinggi jajargenjang, sehingga:

A = (alas)(tinggi) = ‖u‖ ‖v‖ sin⁡𝜃 = ‖u × v‖

Dengan kata lain, berlaku pernyataan:

"Jika u dan v merupakan vektor-vektor dalam dimensi 3, maka panjang ‖u × v‖ sama dengan luas jajargenjang yang dibentuk oleh u dan v"

8. Perkalian Skalar Ganda Tiga

Perkalian skalar ganda tiga dari u, v, dan w didefinisikan sebagai:

u ∙ (v × w)

Lalu bagaimana rumus untuk perkalian skalar ganda tiga u ∙ (v × w)?

Ingat kembali perkalian skalar, perkalian silang vektor, dan vektor satuan standar:

Berikut identitas perkalian skalar ganda tiga:

u ∙ (v × w) = w ∙ (u × v) = v ∙ (w × u)

ingat kembali sifat-sifat aritmatik perkalian silang vektor, sehingga diperoleh identitas:

u ∙ (v × w) = w ∙ (u × v) = v ∙ (w × u) = -u ∙ (w × v) = -w ∙ (v × u) = -v ∙ (u × w)

-u ∙ (v × w) = -w ∙ (u × v) = -v ∙ (w × u) = u ∙ (w × v) = w ∙ (v × u) = v ∙ (u × w)