Perkalian Titik Vektor

1. Perkalian Titik Vektor

Misal dua vektor u dan v diposisikan sehingga titik-titik pangkalnya berhimpit. Sudut antara u dan v adalah sudut θ yang dibentuk oleh u dan v dengan θ ∈ [0, π].

Misal u dan v merupakan vektor, dan θ sudut antara u dan v, perkalian titik (disebut juga perkalian dalam Euclides) u ∙ v didefinisikan sebagai:

Hasil kali titik suatu vektor dengan dirinya sendiri adalah kuadrat panjangnya, karena sudut antara suatu vektor dengan dirinya sendiri adalah nol, sehingga kosinusnya sama dengan 1. Ditulis:

Hubungan antara tanda hasil kali titik dua vektor dengan sudut:

• θ lancip ↔ u ∙ v > 0

• θ tumpul ↔ u ∙ v < 0

• θ siku-siku ↔ u ∙ v = 0

Hal ini berlaku dikarenakan norm vektor selalu positif, sedangkan kosinus bisa positif dan bisa negatif.

2. Bentuk Komponen

Perhatikan gambar berikut:

Misal u = (u₁, u₂, u₃), v = (v₁, v₂, v₃), dan θ sudut antara u dan v, dengan menggunakan aturan kosinus, diperoleh persamaan:

Uraikan masing-masing ‖u‖, ‖v‖, ‖v − u‖

Masukkan ke persamaan sebelumnya

Jadi, hasil perkalian titik adalah jumlah dari hasil kali komponen-komponen yang bertepatan.

Untuk vektor berdimensi 2:

3. Sudut Antara Dua Vektor

Misal u dan v vektor tak nol, dan θ sudut antara keduanya, ingat kembali definisi perkalian titik, kita dapat memperoleh sudut antara dua vektor:

4. Vektor Ortogonal

Dua vektor dikatakan ortogonal apabila keduanya membentuk sudut siku-siku. Dikarenakan kosinus dari sudut siku-siku adalah 0, hasil kali titik dua vektor ortogonal adalah 0. Misal dua vektor u dan v ortogonal, ditulis u ⊥ v.

Misalkan pada suatu koordinat dua dimensi diberikan n = (a, b) dengan a ≠ 0 ∨ b ≠ 0, vektor n tegak lurus dengan garis ax + by + c = 0.

Misal dua titik yang berbeda P₁(x₁, y₁) dan P₂(x₂, y₂) terletak pada garis, sehingga dipenuhi:

ax₁ + by₁ + c = 0

ax₂ + by₂ + c = 0

kurangkan kedua persamaan menjadi:

a(x₂ – x₁) + b(y₂ – y₁) = 0

(a, b) ∙ (x₂ – x₁, y₂ – y₁) = 0

n ∙ (x₂ – x₁, y₂ – y₁) = 0

Vektor (x₂ – x₁, y₂ – y₁) merupakan vektor yang berpangkal di P₁(x₁, y₁) dan berujung di P₂(x₂, y₂) yang terletak pada garis. Hasil kali titik n dengannya adalah nol, yang artinya keduanya tegak lurus.

5. Sifat-Sifat Perkalian Titik Vektor

a) Sifat Komutatif

u ∙ v = v ∙ u

b) Sifat Distributif

u ∙ (v + w) = u ∙ v + u ∙ w

c) Sifat Skalar

k(u ∙ v) = (ku) ∙ v = u ∙ (kv)

d) Sifat Tak Negatif

v ∙ v > 0 untuk v ≠ 0, dan v ∙ v = 0 untuk v = 0