Persamaan Ellips

Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap. 

Dua titik tertentu tersebut disebut Fokus.

Cara menggambar sketsa ellips:

1. Tentukan titik F₁ dan F₂ dengan |F₁F₂| < 2a

2. Hubungkan F₁ dan F₂, perpanjang segmen

3. Tentukan titik A dan B yang terletak pada garis F₁F₂ sehingga |F₁A| = |F₂B| dan |F₁A| = ½(2a - |F₁F₂|)

4. Menentukan titik yang lain, misal T, buat lingkaran berpusat di F₁ dengan r₁ > |F₁A| kemudian buat lingkaran berpusat di F₂ dengan r₂ = 2a - r₁, tandai titik potong dengan T. Lakukan terus hingga mendapatkan titik-titik lain.

1. Persamaan Ellips Berpusat di O(0, 0)

(i) Misalkan dua titik fokus F₁(c, 0) dan F₂(-c, 0),  dan titik P(x₀, y₀) terletak pada ellips

(ii) Jumlah jarak P terhadap kedua titik fokus tetap

|F₂P| + |F₁P| = 2a

a, b, c bilangan real positif

Pusat O(0, 0)

Fokus F₁(c, 0) dan F₂(-c, 0)

Sumbu mayor 2a, sumbu minor 2b

Puncak (a, 0), (-a, 0), (0, b), (0, -b)

Eksentrisitas ellips e = c/a, 0 < e < 1

Untuk e = 0 ellips menjadi lingkaran, untuk e = 1 ellips menjadi garis

Ellips portrait fokusnya pada (0, c) dan (0, -c)

2. Persamaan Ellips Berpusat di M(α, β)

Misal suatu ellips berpusat di O(0, 0) digeser ke M(α, β), pergeseran sumbu ini mengubah:

x = x' + α, dan y = y' + β

x' = x - α, dan y' = y - β, persamaan ellips menjadi:

Pusat M(α, β)

Fokus F₁(c + α, β) dan F₂(-c + α, β)

Sumbu mayor 2a, sumbu minor 2b

Puncak (a + α, β), (-a + α, β), (α, b + β), (α, -b + β)

Eksentrisitas ellips e = c/a

Persamaan ellips kanonik Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0

setelah berubah bentuk menjadi non-kanonik barulah bisa ditentukan pusat, fokus, puncaknya.