Persamaan Garis Kutub Ellips

A. Persamaan Garis Kutub Ellips Berpusat di O(0, 0)

Perhatikan gambar berikut:

Misalkan garis singgung menyinggung ellips di titik Q(x₂, y₂) dan R(x₃, y₃)

Persamaan garis melalui Q dan R disebut persamaan garis kutub ellips

• Persamaan garis singgung melalui P dan Q

b²x₁x₂ + a²y₁y₂ = a²b² (i)

• Persamaan garis singgung melalui P dan R

b²x₁x₃ + a²y₁y₃ = a²b² (ii)

Kurangkan kedua persamaan menjadi:

b²x₁(x₂ – x₃) + a²y₁(y₂ – y₃) = 0

Gradien garis kutub melalui Q dan R adalah:

Sehingga persamaan garis kutubnya:

a²y₁(y – y₂) = –b²x₁(x – x₂)

a²y₁y – a²y₁y₂ = –b²x₁x + b²x₁x₂

a²y₁y + b²x₁x = b²x₁x₂ + a²y₁y₂, perhatikan (i)

a²y₁y + b²x₁x = a²b², buat ruas kanan menjadi 1

Versi lengkap (rumus untuk masing-masing landscape dan portrait):

B. Persamaan Garis Kutub Ellips Berpusat di M(α, β)

Ingat kembali pergeseran sumbu, misal sumbu awal yang berpusat di O(0, 0) digeser ke M(α, β), koordinat baru untuk titik P adalah P'(x₁', y₁'), dengan x₁' = x₁ – α, y₁' = y₁ – β, sehingga persamaan garis kutub barunya adalah:

C. Persamaan Garis Singgung Ellips dari Titik P(x₁, y₁) di Luar Ellips

Perhatikan gambar berikut:

Misalkan garis singgung menyinggung ellips di titik Q(x₂, y₂) dan R(x₃, y₃). Karena tidak ada rumus khusus dalam masalah ini, langkah-langkah menentukan persamaan garis singgung dapat dilakukan dengan:

1. Menentukan persamaan garis kutub QR dalam y = mx + n.

2. Mensubtitusikan persamaan garis kutub ke persamaan elips. Diperoleh persamaan kuadrat dalam variabel x.

3. Selesaikan persamaan kuadrat, akan diperoleh 2 nilai x yang merupakan absis dari titik singgung.

4. Subtitusi nilai x ke persamaan garis kutub AB (bukan ke persamaan elips). Diperoleh 2 nilai y yang merupakan ordinat dari titik singgung.

5. Selanjutnya, menentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan persamaan garis singgung melalui titik pada elips.

contoh:

Dari titik P(-16, 9) dibuat garis singgung pada ellips 3x² + 4y² = 12. Tentukan persamaan garis singgungnya!

nilai x sudah didapatkan, masukkan x ke persamaan garis kutub untuk mendapatkan y