Persamaan Garis Singgung Ellips

1. Persamaan garis singgung ellips di titik P(x₁, y₁) pada ellips yang berpusat di O(0, 0)

Silahkan lihat penjelasan garis singgung ellips bergradien m di bawah, lalu kembali lihat sini:

(b² + a²m²)x² + 2a²mnx + a²n² – a²b² = 0

karena menyinggung di satu titik, titik singgung terletak pada sumbu simetri

a²y₁(y – y₁) = –b²x₁(x – x₁)

a²yy₁ – a²y₁² = –b²xx₁ + b²x₁²

b²xx₁ + a²yy₁ = b²x₁² + a²y₁²

b²xx₁ + a²yy₁ = a²b², buat ruas kanan 1

Persamaan garis singgung ellips melalui titik P(x₁, y₁) yang terletak pada ellips adalah:

2. Persamaan garis singgung ellips di titik P(x₁, y₁) pada lingkaran yang berpusat di M(α, β)

Ingat kembali pergeseran sumbu, misal sumbu awal yang berpusat di O(0, 0) digeser ke M(α, β), koordinat baru untuk titik P adalah P'(x₁', y₁'), dengan x₁' = x₁ – α, y₁' = y₁ – β, sehingga persamaan garis singgung barunya adalah:

Adapun persamaan garis singgung ellips dalam bentuk Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0 adalah:

3. Persamaan garis singgung ellips berpusat di O(0, 0) dengan gradien m

Misalkan persamaan garis y = mx + n dipotongkan pada ellips landscape didapatkan:

b²x² + a²(mx + n)² = a²b²

b²x² + a²(m²x² + 2mnx + n²) – a²b² = 0

b²x² + a²m²x² + 2a²mnx + a²n² – a²b² = 0

(b² + a²m²)x² + 2a²mnx + a²n² – a²b² = 0

Agar menyinggung di satu titik diharuskan diskriminannya nol

(2a²mn)² – 4(b² + a²m²)(a²n² – a²b²) = 0

4a⁴m²n² – 4(b²a²n² – a²b⁴ + a⁴m²n² – a⁴m²b²) = 0

a²m²n² – (b²n² –b⁴ + a²m²n² – a²m²b²) = 0

a²m²n² – b²n² + b⁴ – a²m²n² + a²m²b² = 0

–b²n² + b⁴ + a²m²b² = 0

–n² + b² + a²m² = 0

n² = b² + a²m², sehingga persamaan garis singgungnya:

dengan cara yang sama, akan diperoleh persamaan garis singgung untuk ellips portrait:

4. Persamaan garis singgung ellips berpusat di M(α, β) dengan gradien m

Ingat kembali pergeseran sumbu, misal sumbu awal yang berpusat di O(0, 0) digeser ke M(α, β), koordinat baru untuk titik P adalah P'(x₁', y₁'), dengan x₁' = x₁ – α, y₁' = y₁ – β, sehingga persamaan garis singgung barunya adalah: