Persamaan Hiperbola

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yg memiliki sifat bahwa selisih jarak terhadap dua titik tertentu adalah tetap.

Dua titik tertentu tersebut adalah titik fokus.

• Sumbu x dan sumbu y merupakan sumbu simetri

• Jika titik (m, n) pada hiperbola, maka titik (-m, -n) juga pada hiperbola

• Hiperbola memotong sumbu riil pada dua titik A(a, 0) dan B(-a, 0) yang disebut titik puncak

# Langkah-langkah menggambar grafik hiperbola:

• Tentukan titik-titik fokus F₁ dan F₂, tentukan juga selisih jarak d

• Tentukan titik A dan B pada ruas garis F₁F₂ sehingga |F₁A| = |BF₂| = ½(|F₁F₂| − d)

• Titik-titik pada hiperbola dapat diperoleh dengan cara:

(i) Buat lingkaran dengan pusat F₁ dan jari-jari r₁ > |F₂A|

(ii) Dari F₂ buat lingkaran dengan jari-jari r₁ − d

(iii) Perpotongan kedua lingkaran adalah titik pada hiperbola

(iv) Lakukan hal yang sama dengan mengganti F₁ dengan F₂.

Gambar ini adalah gambar hiperbola berpusat di O(0, 0), dua titik fokus F₁(c, 0) dan F₂(-c, 0)

1) Sumbu x dan sumbu y merupakan sumbu simetri

• dengan sumbu x merupakan sumbu riil

• dan sumbu y merupakan sumbu imajiner (tidak pernah dipotong)

• kedua titik fokus terletak pada sumbu riil

2) Hiperbola memotong sumbu riil pada A dan B yang disebut juga titik puncak
3) Dikarenakan grafik simetri terhadap sumbu x dan sumbu y, akibatnya jika titik (x, y) terletak pada hiperbola maka titik (-x, -y) juga terletak pada hiperbola.

1. Persamaan Hiperbola berpusat di O(0, 0)

(i) Misalkan dua titik fokus F₁(c, 0) dan F₂(-c, 0),  dan titik P(x₀, y₀) terletak pada hiperbola

(ii) Selisih jarak P terhadap kedua titik fokus tetap

|F₂P| − |F₁P| = 2a

a, b, c merupakan bilangan real positif.

Persamaan hiperbola riil-x

• Sumbu x sebagai sumbu riil (karena dipotong)

• Sumbu y sebagai sumbu imajiner (karena tidak dipotong)

• Grafik membuka ke kiri dan kanan

Selain hiperbola yang riil-x, ada juga hiperbola riil-y sebagai berikut:

• Sumbu y sebagai sumbu riil (karena dipotong)

• Sumbu x sebagai sumbu imajiner (karena tidak dipotong)

• Grafik membuka ke atas dan bawah

Pada artikel ini hanya dibahas hiperbola riil-x

A. Asimtot

Misalkan suatu hiperbola berpusat di O(0, 0) dipotongkan dengan garis y = mx

b²x² – a²m²x² = a²b²

(b² – a²m²)x² = a²b²

Ruas kanan tidak mungkin negatif, sedangkan ruas kiri bisa saja negatif. Berikut keadaan ruas kiri:

• Untuk b² – a²m² > 0, x bernilai real, yang artinya terjadi perpotongan nyata

• Untuk b² – a²m² < 0, x bernilai imajiner, yang artinya perpotongannya khayalan

• Untuk b² – a²m² = 0, x menjadi tak hingga, yang artinya asimtot.

b² – a²m² = 0

B. Eksentrisitas

2. Persamaan Hiperbola Berpusat di M(α, β)

Misal suatu hiperbola berpusat di O(0, 0) digeser ke M(α, β), pergeseran sumbu ini mengubah:

x = x' + α, dan y = y' + β

x' = x - α, dan y' = y - β, persamaan hiperbola menjadi:

• Pusat di M(α, β)

• Sumbu simetri y = α dan x = β

• Titik fokus (-c + α, β) dan (c + α, β)

• Titik puncak (-a + α, β) dan (a + α, β)

• Asimtot

• Eksentrisitas

e = c/a, 1 < e < ∞