Proyeksi Ortogonal Vektor

1. Proyeksi Ortogonal

Perhatikan gambar berikut:

Suatu vektor u dapat didekomposisi menjadi dua bagian, satu sejajar dengan a, dan satu tegak lurus dengan a.

Vektor w₁, disebut proyeksi ortogonal dari u pada a atau kadang-kadang komponen vektor dari u sepanjang a. Hal ini dinyatakan dengan proj_au. Dikarenakan bagian ini sejajar dengan a, bagian ini merupakan perkalian skalar ka, dapat ditulis ∃k ∈ R ∋ w₁ = ka

Vektor w₂, disebut komponen vektor u yang ortogonal terhadap a. Karena kita mendapati w₂, = u − w₁, vektor ini dapat ditulis ulang dalam notasi u − proj_au.

2. Panjang Vektor Proyeksi

Bisa juga dinyatakan dalam bentuk lain:

Ilustrasi untuk bentuk sudut:

3. Jarak Titik ke Garis

Diberikan titik P₀(x₀, y₀), tentukan jaraknya ke garis ax + by + c = 0

Misal Q(x₁, y₁) sebarang titik pada garis, letakkan vektor n = (a, b) sehingga titik pangkalnya pada Q. Sebagaimana telah kita ketahui bahwa n tegak lurus dengan garis, jarak titik P₀(x₀, y₀) ke garis sama dengan panjang proyeksi vektor yang berpangkal di Q dan berujung di P₀ terhadap n.

uraikan masing-masing bentuk:

masukkan hasil uraian:

Ingat kembali bahwa titik Q(x₁, y₁) terletak pada garis, sehingga dipenuhi:

ax₁ + by₁ + c = 0 ↔ −ax₁ − by₁ = c

substitusikan ke rumus jarak