Vektor dalam Ruang Koordinat

A. Vektor dalam Dimensi 2

Perhatikan gambar berikut:

Masalah-masalah yang melibatkan vektor sering kali dapat disederhanakan dengan memperkenalkan suatu sistem koordinat segi empat. Anggap v adalah sembarang vektor pada bidang dan asumsikan bahwa v telah diletakkan sehingga titik pangkalnya berada pada titik asal sistem koordinat segi empat. Koordinat (v₁, v₂) dari titik ujung v disebut komponen v dan kita tuliskan v = (v₁, v₂).

Jika vektor-vektor yang ekuivalen, v dan w, diletakkan sehingga titik pangkalnya di titik asal, maka jelas bahwa titik ujungnya harus berimpitan (karena vektor-vektor tersebut mempunyai panjang dan arah yang sama). Jadi, vektor-vektor tersebut mempunyai komponen yang sama. Sebaliknya, vektor-vektor dengan komponen yang sama ekuivalen karena vektor-vektor itu mempunyai panjang dan arah yang sama.

Ringkasnya, dua vektor v = (v₁, v₂) dan w = (w₁, w₂) jika dan hanya jika v₁ = w₁ dan v₂ = w₂.

Perhatikan gambar berikut:

Jumlah dua vektor v = (v₁, v₂) dan w = (w₁, w₂) adalah v + w = (v₁ + w₁, v₂ + w₂)

Perhatikan gambar berikut:

Misal k sebarang skalar dan v = (v₁, v₂), berlaku kv = (kv₁, kv₂)

v – w = v + (–1)w = (v₁ – w₁, v₂ – w₂)

B. Vektor dalam Dimensi 3

Perhatikan gambar berikut:

Sistem koordinat segi empat dalam ruang dimensi 3 mempunyai dua kategori, tangan kiri dan tangan kanan. Suatu sistem tangan kanan mempunyai sifat yang ditunjukkan oleh suatu sekrup biasa dalam arah positif pada sumbu z jika sumbu x positif diputar 90° ke arah sumbu y positif. Sistem itu disebut sistem tangan kiri, jika sekrup diputar ke arah mengendurkan.

Pada artikel ini, hanya dibahas sistem tangan kanan.

Perhatikan gambar berikut:

untuk vektor dalam dimensi 3, dapat digunakan uraian serupa dengan dimensi 2, yaitu:

v = (v₁, v₂, v₃) dan w = (w₁, w₂, w₃) jika dan hanya jika v₁ = w₁, v₂ = w₂, v₃ = w₃.

v + w = (v₁ + w₁, v₂ + w₂, v₃ + w₃)

Misal k sebarang skalar dan v = (v₁, v₂, v₃), berlaku kv = (kv₁, kv₂, kv₃)

Suatu vektor terkadang diposisikan titik pangkalnya bukan pada titik origin. Misal suatu vektor berpangkal di P₁(x₁, y₁, z₁) dan P₂(x₂, y₂, z₂), vektor itu dikomponenkan (x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁), ditulis sebagai berikut:

Komponen-komponen vektor yang pangkalnya bukan di O, dengan mengurangkan komponen ujung dengan komponen pangkal. Perhatikan gambar berikut:

C. Pergeseran Sumbu

Penyelesaian atas banyak permasalahan dapat disederhanakan dengan menggeser sumbu koordinat untuk memperoleh sumbu baru yang sejajar dengan sumbu aslinya.

Pada mulanya suatu sistem koordinat berpusat di O(0, 0). Misal pusat digeser ke O'(k, l), titik P(x, y) memiliki koordinat baru yaitu P(x', y') dengan:

x' = x – k, dan y' = y – l

Rumus ini disebut sebagai persamaan pergeseran.