Vektor Geometris

1. Vektor dan Skalar

Banyak besaran fisika, seperti luas, panjang, massa, dan suhu, teruraikan secara lengkap ketika besar besaran tersebut diberikan. Besaran-besaran seperti itu disebut skalar. Besaran-besaran fisika lainnya, yang di sebut vektor, tidak secara lengkap terdefinisikan sampai besar dan arahnya ditentukan. Besaran skalar adalah besaran yang tidak memiliki arah, sedangkan besaran vektor adalah besaran yang memiliki arah.

Vektor dapat disajikan secara geometris sebagai ruas garis berarah atau panah dalam ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3; arah panah menentukan arah vektor, dan panjang panah menentukan besarnya. Ekor dari panah tersebut disebut titik pangkal vektor dan ujung panah disebut fitik ujung. Kita akan menuliskan vektor dengan huruf kecil bergaris bawah (misalnya, a, k, v, w, dan x). Ketika mendiskusikan vektor, kita akan menyebut bilangan sebagai skalar. Semua skalar kita adalah bilangan real dan akan dinyatakan dengan huruf kecil miring (misalnya, a, k, v, w, dan x).

Digambarkan sebuah vektor v berpangkal di A dan berujung di B.

Vektor-vektor yang panjang dan arahnya disebut vektor ekivalen. Jika vektor v ekivalen dengan w, ditulis v = w.

2. Penjumlahan Vektor

Untuk sebarang vektor v dan w, jumlah v + w adalah vektor yang ditentukan sebagai berikut:

Letakkan vektor w sedemikian sehingga titik pangkalnya bertautan dengan titik ujung v. Vektor v + w dinyatakan oleh panah dari titik pangkal v ke titik ujung w. Perhatikan gambar berikut:

v + w = w + v, karena panjang dan arahnya sama.

Penjumlahan vektor bersifat komutatif sebagaimana pada gambar. Hasil penjumlahan dua vektor secara geometris digambarkan sebagai diagonal jajargenjang yang dibentuk oleh kedua vektor.

3. Vektor Nol dan Vektor Negatif

Vektor yang panjangnya nol disebut vektor nol dan dinyatakan dengan 0. Kita mendefinisikannya:

0 + v = v + 0 = v

untuk setiap vektor v. Karena tidak ada arah alami untuk vektor nol, kita setuju bahwa vektor nol dapat mempunyai sembarang arah yang sesuai dengan masalah yang sedang dipertimbangkan.

Jika v adalah sembarang vektor tak nol, maka –v, negatif dari v, didefinisikan sebagai vektor yang besarnya sama dengan v, tetapi arahnya terbalik dengan arah v.

Negatif dari vektor nol adalah vektor nol (ditulis –0 = 0). Jumlah dari suatu vektor dengan negatifnya adalah vektor nol, karena kembali ke titik semula.

v + (–v) = 0

4. Pengurangan Vektor

Untuk sebarang vektor v dan w, selisih w dari v didefinisikan sebagai:

v – w = v + (–w)

Untuk mendapatkan selisih v – w tanpa menyusun –w, posisikan v dan w sehingga titik-titik pangkalnya berimpitan; vektor dari titik ujung w ke titik ujung v adalah vektor v – w.

5. Perkalian Skalar dengan Vektor

Jika v adalah suatu vektor tak nol dan k adalah suatu bilangan real tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya |k| kali panjang v dan yang arahnya sama dengan arah v jika k > 0 dan berlawanan arah dengan v jika k < 0. Kita definisikan kv = 0 jika k = 0 atau v = 0.

Untuk k = –1, kv = –v.