Volume Irisan Prisma Segitiga dengan Bidang

Perhatikan gambar berikut:

Diberikan prisma segitiga ABC.DEF dengan P terletak pada AD, Q terletak pada BE, R terletak pada CF. 

Klaim:

Volume ABC.PQR adalah ⅓ × [ABC] × (AP + BQ + CR)

Bukti:

Buat garis melalui R // AC, memotong AD di P'

Buat garis melalui R // BC, memotong BE di Q'

Poligon P'Q'R sejajar dan kongruen dengan ABC

[P'Q'R] = [ABC]

Vol ABC.P'Q'R = [ABC].CR

Perhatikan limas R.PQQ'P'

𝑃𝑃′ // 𝑄𝑄′ ∧ 𝑃′𝑄′ ⊥ 𝑃𝑃′ ∧ 𝑃′𝑄′ ⊥ 𝑄𝑄′

Segiempat PQQ'P' merupakan trapesium siku-siku

Misal x merupakan jarak R ke P'Q'

[𝑃𝑄𝑄′𝑃′] = ½.𝑃′𝑄′.(𝑃𝑃′ + 𝑄𝑄′)

Vol R.PQQ'P' = ⅓.𝑥.½.𝑃′𝑄′.(𝑃𝑃′ + 𝑄𝑄′) = ⅓[𝑃′𝑄′𝑅].(𝑃𝑃′ + 𝑄𝑄′)

Vol ABC.PQR = Vol ABC.P'Q'R – Vol R.PQQ'P'

= [𝐴𝐵𝐶].𝐶𝑅 − ⅓.[𝑃′𝑄′𝑅].(𝑃𝑃′ + 𝑄𝑄′)

= [𝐴𝐵𝐶].𝐶𝑅 − ⅓.[𝐴𝐵𝐶].(𝐴𝑃′ − 𝐴𝑃 + 𝐵𝑄′ − 𝐵𝑄)

= [𝐴𝐵𝐶].(𝐶𝑅 − ⅓(2𝐶𝑅 − 𝐴𝑃 − 𝐵𝑄)) 

= [𝐴𝐵𝐶].(𝐶𝑅 − ⅔𝐶𝑅 + ⅓𝐴𝑃 + ⅓𝐵𝑄)

= [𝐴𝐵𝐶].(⅓𝐶𝑅 + ⅓𝐴𝑃 + ⅓𝐵𝑄)

∴ Vol ABC.PQR = ⅓[𝐴𝐵𝐶](𝐴𝑃 + 𝐵𝑄 + 𝐶𝑅) ∎