Hubungan Vektor dengan Garis dan Bidang

Perhatikan gambar berikut:

Diberikan vektor n tegak lurus dengan bidang, artinya n tegak lurus dengan setiap vektor yang terletak pada bidang. Misal n = (a, b, c) dengan a ≠ 0 ∨ b ≠ 0 ∨ c ≠ 0 dan berpangkal di titik P₀(x₀, y₀, z₀) yang terletak pada bidang. Dari titik pangkal yang sama, buat vektor pada bidang dengan titik ujungnya P(x, y, z), tentunya vektor baru ini tegak lurus dengan n, sehingga berlaku:

mari kita uraikan:

(a, b, c) ∙ (x − x₀, y − y₀, z − z₀) = 0

a(x − x₀) + b(y − y₀) + c(z − z₀) = 0

ax + by + cz − ax₀ − by₀ − cz₀ = 0

misalkan − ax₀ − by₀ − cz₀ = d

ax + by + cz + d = 0

∴ Vektor n = (a, b, c) tegak lurus dengan bidang ax + by + cz + d = 0.

Vektor yang tegak lurus dengan bidang disebut vektor normal.

1. Perpotongan Tiga Bidang

Diberikan tiga bidang dengan persamaan berikut:

a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 (i)

a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0 (ii)

a₃x + b₃y + c₃z + d₃ = 0 (iii)

Sebagaimana kita ketahui bahwa a, b, c merupakan koefisien, sedangkan d merupakan konstanta, kita dapat memindahkan konstanta ke ruas kanan sehingga terbentuklah SPL sebagai berikut:

a₁x + b₁y + c₁z = −d₁ (i)

a₂x + b₂y + c₂z = −d₂ (ii)

a₃x + b₃y + c₃z = −d₃ (iii)

Sebagaimana SPL pada umumnya, bisa jadi tidak memiliki solusi, memiliki tepat satu solusi, atau memiliki tak hingga solusi, berikut kedudukan ketiga bidang secara geometris:

a. Tidak memiliki solusi

SPL dari tiga bidang tidak memiliki solusi apabila kedudukannya:

• Tiga bidang sejajar

• Dua bidang sejajar dan dipotong oleh bidang ketiga

• Tiga bidang membentuk prisma segitiga

• Dua bidang berhimpit dan sejajar dengan bidang ketiga

Pada kedudukan-kedudukan ini SPL tidak memiliki solusi karena tidak ada titik persekutuan dari ketiga bidang.

b. Memiliki tepat satu solusi

SPL dari tiga bidang memiliki tepat satu solusi apabila ketiga bidang berpotongan tepat pada satu titik.

c. Memiliki tak hingga solusi

SPL dari tiga bidang memiliki tak hingga solusi apabila:

• Tiga bidang berhimpit

• Tiga bidang berpotongan pada satu garis

• Dua bidang berhimpit dan dipotong oleh bidang ketiga

Pada kedudukan-kedudukan ini SPL memiliki tak hingga solusi karena terdapat tak hingga titik persekutuan dari ketiga bidang.

2. Persamaan Bidang Melalui Tiga Titik

Misal diberikan tiga titik P₁(x₁, y₁, z₁), P₂(x₂, y₂, z₂), dan P₃(x₃, y₃, z₃). Dikarenakan titik terletak pada bidang ax + by + cz + d = 0 tentunya memenuhi:

x₁a + y₁b + z₁c + d = 0 (i)

x₂a + y₂b + z₂c + d = 0 (ii)

x₃a + y₃b + z₃c + d = 0 (iii)

Sebagaimana kita ketahui bahwa a, b, c merupakan koefisien, sedangkan d merupakan konstanta, kita dapat memindahkan konstanta ke ruas kanan sehingga terbentuklah SPL sebagai berikut:

x₁a + y₁b + z₁c = −d (i)

x₂a + y₂b + z₂c = −d (ii)

x₃a + y₃b + z₃c = −d (iii)

Untuk menentukan persamaan bidang melalui tiga titik bisa dengan menyelesaikan SPL tersebut. SPL yang dibentuk oleh tiga titik yang terletak pada bidang selalu memiliki solusi karena apabila terdapat baris nol, secara otomatis nilai d sama dengan nol.

Selain menggunakan SPL, persamaan bidang melalui tiga titik juga bisa diselesaikan menggunakan vektor.

• Pilih salahsatu titik sebagai titik pangkal, misal P₁(x₁, y₁, z₁)

• Buat dua vektor yang berpangkal di P₁(x₁, y₁, z₁) dan ujungnya masing-masing di P₂(x₂, y₂, z₂) dan P₃(x₃, y₃, z₃)

• Kalikan silang kedua vektor, diperoleh vektor normal (vektor yang tegak lurus dengan bidang)

Misal P(x, y, z) sebarang titik pada bidang, berlaku:

Pada akhirnya, persamaan bidang melalui tiga titik dapat ditentukan menggunakan determinan matriks 3 × 3 berikut:

Kembali ke vektor normal, kita memperoleh rumus untuk menentukan koefisien a, b, c:

sedangkan untuk d, kita tentukan dengan:

3. Persamaan Bidang dalam Bentuk Vektor

Perhatikan gambar berikut:

Misal r vektor berpangkal di origin dan berujung di P(x, y, z), sehingga r = (x, y, z).

Misal r₀ vektor berpangkal di origin dan berujung di P₀(x₀, y₀, z₀), sehingga r₀ = (x₀, y₀, z₀).

Vektor yang berpangkal di P₀ dan berujung di P adalah r − r₀ = (x − x₀, y − y₀, z − z₀).

Misal n = (a, b, c) vektor normal, berlaku:

n ∙ (r − r₀) = 0

bentuk ini disebut sebagai persamaan bidang dalam bentuk vektor.

4. Persamaan Parametrik Garis dalam Dimensi Tiga

Perhatikan gambar berikut:

Misal l merupakan garis di R3 melalui titik P₀(x₀, y₀, z₀) sejajar dengan vektor tak nol v = (a, b, c). Misal titik P(x, y, z) juga terletak pada garis l, tentunya vektor yang berpangkal di P₀ dan berujung di P sejajar dengan v, berarti ∃ skalar t ∋:

bentuk ini dapat diuraikan menjadi:

(x − x₀, y − y₀, z − z₀) = (ta, tb, tc)

x − x₀ = ta ↔ x = x₀ + ta

y − y₀ = tb ↔ y = y₀ + tb

z − z₀ = tc ↔ z = z₀ + tc

Selama titik P(x, y, z) dijalankan sepanjang garis l, nilai t bisa berapa saja. Berikut persamaan parametrik untuk garis l:

x = x₀ + ta, y = y₀ + tb, z = z₀ + tc, −∞ < t < ∞

5. Perpotongan Garis dengan Bidang

Misal persamaan suatu bidang adalah ax + by + cz + d = 0 dan persamaan parametrik garis:

x = x₀ + et, y = y₀ + ft, z = z₀ + gt, −∞ < t < ∞

Masukkan persamaan parametrik garis ke persamaan bidang:

a(x₀ + et) + b(y₀ + ft) + c(z₀ + gt) + d = 0

ax₀ + aet + by₀ + bft + cz₀ + cgt + d = 0

aet + bft + cgt = − ax₀ − by₀ − cz₀ − d

(ae + bf + cg)t = −(ax₀ + by₀ + cz₀ + d)

Masukkan t ke persamaan parameter, diperoleh titik potong garis dengan bidang.

6. Garis Perpotongan Dua Bidang

Diberikan dua bidang dengan persamaan berikut:

a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 (i)

a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0 (ii)

Sebagaimana kita ketahui bahwa a, b, c merupakan koefisien, sedangkan d merupakan konstanta, kita dapat memindahkan konstanta ke ruas kanan sehingga terbentuklah SPL sebagai berikut:

a₁x + b₁y + c₁z = −d₁ (i)

a₂x + b₂y + c₂z = −d₂ (ii)

Dikarenakan terdapat tiga variabel, tetapi hanya ada dua persamaan, akibatnya diperlukan parameter untuk menentukan penyelesaiannya, sehingga terbentuklah persamaan parametrik garis.

7. Persamaan Garis dalam Bentuk Vektor

Perhatikan gambar berikut:

Melalui titik P(x, y, z) dan P₀(x₀, y₀, z₀) dibuat garis l.

Misal r vektor berpangkal di origin dan berujung di P(x, y, z), sehingga r = (x, y, z).

Misal r₀ vektor berpangkal di origin dan berujung di P₀(x₀, y₀, z₀), sehingga r₀ = (x₀, y₀, z₀).

Vektor yang berpangkal di P₀ dan berujung di P adalah r − r₀ = (x − x₀, y − y₀, z − z₀).

Misal v = (a, b, c) vektor sejajar garis l, berarti ∃ skalar t ∋:

r − r₀ = tv

r = r₀ + tv, −∞ < t < ∞

bentuk ini disebut sebagai persamaan garis dalam bentuk vektor.

8. Jarak Titik ke Bidang

Perhatikan gambar berikut:

Diberikan titik P₀(x₀, y₀, z₀) diluar bidang ax + by + cz + d = 0, dan titik Q(x₁, y₁, z₁) terletak pada bidang. Misal vektor normal n = (a, b, c) berpangkal di Q, dari titik Q juga dibuat vektor yang berujung di P₀. Jarak titik P₀ ke bidang sama dengan panjang proyeksi ortogonal vektor yang berpangkal di Q dan berujung di P₀ terhadap n.

Uraikan bentuknya menjadi:

Perhatikan pembilangnya |a(x₀ − x₁) + b(y₀ − y₁) + c(z₀ − z₁)| = |ax₀ − ax₁ + by₀ − by₁ + cz₀ − cz₁|

Dikarenakan Q(x₁, y₁, z₁) terletak pada bidang, berlaku ax₁ + by₁ + cz₁ + d = 0, dengan kata lain:

− ax₁ − by₁ − cz₁ = d, masukkan ke pembilang menjadi |ax₀ + by₀ + cz₀ + d|, rumus jarak: