Interpretasi Geometrik Determinan

A. Interpretasi Geometrik Determinan Matriks

1. Nilai mutlak determinan

sama dengan luas jajargenjang dalam ruang dimensi 2 yang dibentuk oleh vektor u = (u₁, u₂) dan v = (v₁, v₂). Lihat gambar berikut:

Misal dua vektor u = (u₁, u₂) dan v = (v₁, v₂) yang merupakan vektor dalam dimensi 2 diletakkan pada dimensi 3. Anggap keduanya diletakkan pada bidang XOY, menjadi u = (u₁, u₂, 0) dan v = (v₁, v₂, 0). Hasil kali silang keduanya adalah:

dengan menghitung panjangnya, kita mendapati bahwa determinannya sama dengan luas jajargenjang.

2. Nilai mutlak determinan

sama dengan volume parallelepipedum dalam ruang dimensi 3 yang dibentuk oleh vektor u = (u₁, u₂, u₃), v = (v₁, v₂, v₃) dan w = (w₁, w₂, w₃). Lihat gambar berikut:

Misal vektor v dan w membentuk alas parallelepipedum, luasnya adalah ‖v × w‖. Sedangkan tinggi parallelepipedum sama dengan proyeksi ortogonal u terhadap v × w.

Sehingga volumenya adalah:

2. Tiga Vektor Sebidang

Diberikan tiga vektor u = (u₁, u₂, u₃), v = (v₁, v₂, v₃) dan w = (w₁, w₂, w₃) dengan titik pangkalnya sama. Tentunya ketiganya sebidang apabila volume parallelepipedum nya nol. Dengan kata lain: